ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ И МЕТРОЛОГИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСТ Р исо 16269-7— 2004
Статистические методы
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ. МЕДИАНА
Определение точечной оценки и доверительных интервалов
ISO 16269-7:2001 Statistical interpretation of data —
Part 7: Median — Estimation and confidence intervals (IDT)
Издание официальное
о о т со
<*)
L0
Москва
ИПК Издательство стандартов
2 004
ГОСТ Р ИСО 16269-7—2004
Предисловие
1 ПОДГОТОВЛЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции» на основе собственного аутентичного перевода стандарта, указанного в пункте 4
2 ВНЕСЕН Научно-техническим управлением Госстандарта России
3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 27 января 2004 г. № 34-ст
4 Настоящий стандарт идентичен международному стандарту ИСО 16269-7-2001. «Статистическое представление данных. Часть 7. Медиана. Определение точечной оценки и доверительных интервалов» (ISO 16269-7:2001 «Statistical interpretation of data — Part 7: Median — Estimation and confidence intervals»)
Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5 (подраздел 3.6).
При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении С
5 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ
Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе «Национальные стандарты», а текст этих изменений — в информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе «Национальные стандарты»
© ИПК Издательство стандартов. 2004
Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Госстандарта России
Содержание
1 Область применения
2 Нормативные ссылки
3 Термины, определения и обозначения
4 Условия применения
5 Определение точечной оценки
6 Определение доверительного интервала
Приложение А (справочное) Классический метод определения границ доверительных интервалов для
медианы
Приложение В (справочное) Примеры определения доверительных границ
Приложение С (справочное) Сведения о соответствии национальных стандартов Российской Федерации ссылочным международным стандартам
ill
ГОСТ Р ИСО 16269-7—2004
НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Статистические методы
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ.
МЕДИАНА Определение точечной оценки и доверительных интервалов
Statistical methods. Statistical interpretation of data. Median.
Estimation and confidence intervals
Дата введения — 2004—06—01
1 Область применения
Настоящий стандарт устанавливает процедуры определения точечной и интервальной оценок медианы для любой совокупности случайных величин, описываемой непрерывной функцией распреде-пения. Приведенные в стандарте методы не требуют знания функции распределения. Аналогичные процедуры могут применяться для определения оценок квартилей и других процентных точек распределения.
Примечание — Медиана — 50 %-ная точка распределения.
2 Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использована ссылка на следующий стандарт:
ИСО 3534-1:1993 Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Вероятность и основные статистические термины.
3 Термины, определения и обозначения
3.1 Термины и определения
В настоящем стандарте применены термины по ИСО 3534-1, а также следующие термины с соответствующими определениями:
3.1.1 к-я порядковая статистика выборки (Xc-th order statistic of a sample):
Значение fc-го элемента выборки, когда все элементы выборки расположены в таком порядке, при котором каждый последующий элемент выборки более или равен (не менее) предыдущему (порядок неубывания).
Примечание — Для выборки из л элементов, расположенных в порядке неубывания (.v^j < д^ S ... £ ),
А-й порядковой статистикой является элемент
3.1.2 медиана непрерывного распределения (median of a continuous probability distribution): Такая величина, когда каждая из долей распределения, лежащих по обе стороны от нее, равна 0,5.
Примечание — В настоящем стандарте для медианы непрерывного распределения применен термин «медиана совокупности» и обозначен буквой М.
3.2 Обозначения
В настоящем стандарте применены следующие обозначения:
А — нижняя граница значений случайной величины в совокупности;
Ь — верхняя граница значений случайной величины в совокупности;
Издание официальное
С — уровень доверия;
с — постоянная, используемая для определения величины к в уравнении (1);
к— номер порядковой статистики, используемый для определения нижней доверительной границы;
М — медиана совокупности;
N— объем выборки;
Г, — нижняя доверительная граница, рассчитанная по выборке;
Т2 — верхняя доверительная граница, рассчитанная по выборке;
U — квантиль стандартного нормального распределения;
Afy) — Ай элемент выборки, когда элементы выборки расположены в порядке неубывания (каждый последующий элемент ряда более или равен предыдущему);
х — выборочное значение медианы (оценка медианы, рассчитанная по выборочным данным); у — значение промежуточных вычислений при определении величины к [см. уравнение (1)].
4 Условия применения
Метод, описанный в настоящем стандарте, применим при выполнении следующих условий;
* генеральная совокупность описывается непрерывной функцией распределения;
- выборка составляется случайным образом.
Примечани е — Для случаев, когда распределение совокупности может быть описано нормальным распределением, медиана совокупности совпадает с математическим ожиданием. 8 этом случае могут применяться методы определения доверительных границ для математического ожидания совокупности.
5 Определение точечной оценки
Точечной оценкой медианы совокупности является выборочная медиана х. Для определения выборочной медианы все элементы выборки необходимо расположить в порядке их неубывания. Выборочная медиана х равна:
г хг ,— если я нечетное число;
и
« 1 / ч
- (х +х ]— если я четное число,

— порядковая статистика с номером
— порядковая статистика с номером

+ 1
— порядковая статистика с номером
Примечание — Данная оценка в общем случае для несимметричных распределений является смещенной. При этом не существует метода определения несмещенной оценки для любых непрерывных распределений.
6 Определение доверительного интервала
6.1 Общие положения
Двусторонний доверительный интервал для медианы — это закрытый интервал [Г,, Г2]. где Г, < Т2, а 7\ и 72 — соответственно нижняя и верхняя доверительные границы.
Если а и h — соответственно нижняя и верхняя границы значений случайной величины в генеральной совокупности, то односторонние доверительные интервалы, соответственно, имеют вид [7^, Ь) и (а, Г2].
Примечание — На практике часто значение а принимают равным нулю для положительных переменных. а для переменных, не имеющих естественной верхней границы, в качестве b принимают бесконечность.
Практическое значение применения доверительного интервала состоит в том, что исследователь может определить интервал, накрывающий неизвестное значение медианы совокупности Л/. Причем вероятность противоположного события (интервал не накрывает Л/) не превышает назначенного малого значения. Вероятность того, что доверительный интервал накрывает медиану совокупности, называется доверительной вероятностью.
6.2 Классический метод
Классический метод определения границ доверительного интервала для медианы совокупности приведен в приложении А. Метод включает решение двух неравенств. Альтернативные методы определения границ доверительного интервала для некоторых значений уровня доверия приведены ниже.
6.3 Метод определения границ доверительного интервала для малых выборок (5< п < 100).
Значения к, удовлетворяющие неравенствам, приведенным в приложении А для восьми наиболее часто используемых значений уровней доверия и объемов выборки от 5 до 100 элементов, приведены в таблицах 1 и 2. В таблице 1 приведены значения к. используемые для определения границ одностороннегодоверительного интервала, в таблице 2 — для определения границ двустороннего доверительного интервала.
Нижняя и верхняя границы доверительных интервалов определяются следующим образом:
Л = ■*[*!’
^2 = Х|«-Л+ 1р
где xIt], Х[2|......— упорядоченная выборка (каждый последующий элемент ряда более или
равен предыдущему).
При малых объемах выборки //доверительные границы для некоторых значений уровней доверия не могут быть найдены описанным методом.
Пример вычисления доверительных границ для малых выборок приведен в приложении В.
Таблица 1 — Значения к для определения границ одностороннего доверительного интервала при объеме выборки от 5 до 100 элементов
Объем выбор-ки п | Значение к при уровне доверия. % | Объем выбор- КИ п | Значение к при уровне доверия, % | ||||||||||||||
80 | 90 | 95 | 98 | 99 | 99,5 | 99,8 | 99,9 | 80 | 90 | 95 | 98 | 99 | 99,5 | 99.8 | 99.9 | ||
5 | 2 | 1 | 1 | « | « | « | я | * | |||||||||
6 | 2 | 1 | 1 | 1 | ♦ | • | • | • | 26 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 7 | 6 | 5 |
7 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | • | • | • | 27 | 11 | 10 | 9 | 8 | 8 | 7 | 6 | 6 |
8 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | я | я | 28 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 7 | 6 |
9 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | « | 29 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 8 | 7 | 6 |
10 | 4 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 30 | 13 | 11 | 11 | 9 | 9 | 8 | 7 | 7 |
11 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 31 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 8 | 7 |
12 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 32 | 14 | 12 | 11 | 10 | 9 | 9 | 8 | 7 |
13 | 5 | 4 | 4 | 3 | 2 | 2 | 2 | 1 | 33 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 8 |
14 | 5 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 34 | 15 | 13 | 12 | 11 | 10 | 10 | 9 | 8 |
15 | 6 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 35 | 15 | 14 | 13 | 11 | 11 | 10 | 9 | 9 |
16 | 6 | 5 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 36 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 10 | 9 |
17 | 7 | 6 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 37 | 16 | 15 | 14 | 12 | 11 | 11 | 10 | 9 |
18 | 7 | 6 | 6 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 38 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 10 |
19 | 8 | 7 | 6 | 5 | 5 | 4 | 3 | 3 | 39 | 17 | 16 | 14 | 13 | 12 | 12 | 11 | 10 |
20 | 8 | 7 | 6 | 5 | 5 | 4 | 4 | 3 | 40 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 |
21 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 5 | 4 | 4 | 41 | 18 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 11 |
22 | 9 | 8 | 7 | 6 | 6 | 5 | 4 | 4 | 42 | 18 | 17 | 16 | 14 | 14 | 13 | 12 | 11 |
23 | 9 | 8 | 8 | 7 | 6 | 5 | 5 | 4 | 43 | 19 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 12 |
24 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 | 44 | 19 | 18 | 17 | 15 | 14 | 14 | 13 | 12 |
25 | 10 | 9 | 8 | 7 | 7 | 6 | 5 | 5 | 45 | 20 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 |
Окончание таблицы 1
Объем | Значение к при уровне доверия. % | Объем выбор* ки п | Значение к при уровне доверия. % | ||||||||||||||
ки п | 80 | 90 | 95 | 98 | 99 | 99.5 | 99.8 | 99.9 | 80 | 90 | 95 | 98 | 99 | 99.5 | 99.8 | 99.9 | |
46 | 20 | 19 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 13 | 76 | 34 | 32 | 31 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 |
47 | 21 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 77 | 35 | 33 | 31 | 30 | 28 | 27 | 26 | 25 |
48 | 21 | 20 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 78 | 35 | 33 | 32 | 30 | 29 | 28 | 26 | 25 |
49 | 22 | 20 | 19 | 17 | 16 | 16 | 15 | 14 | 79 | 36 | 34 | 32 | 30 | 29 | 28 | 27 | 26 |
50 | 22 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 80 | 36 | 34 | 33 | 31 | 30 | 29 | 27 | 26 |
51 | 22 | 21 | 20 | 18 | 17 | 16 | 15 | 15 | 81 | 37 | 35 | 33 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 |
52 | 23 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 82 | 37 | 35 | 34 | 32 | 31 | 29 | 28 | 27 |
53 | 23 | 22 | 21 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 83 | 38 | 36 | 34 | 32 | 31 | 30 | 28 | 28 |
54 | 24 | 22 | 21 | 19 | 19 | 18 | 17 | 16 | 84 | 38 | 36 | 34 | 33 | 31 | 30 | 29 | 28 |
55 | 24 | 23 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 85 | 39 | 37 | 35 | 33 | 32 | 31 | 29 | 28 |
56 | 25 | 23 | 22 | 20 | 19 | 18 | 17 | 17 | 86 | 39 | 37 | 35 | 33 | 32 | 31 | 30 | 29 |
57 | 25 | 24 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 87 | 40 | 38 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 | 29 |
58 | 26 | 24 | 23 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 88 | 40 | 38 | 36 | 34 | 33 | 32 | 31 | 30 |
59 | 26 | 25 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 89 | 41 | 38 | 37 | 35 | 34 | 32 | 31 | 30 |
60 | 27 | 25 | 24 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 90 | 41 | 39 | 37 | 35 | 34 | 33 | 31 | 30 |
61 | 27 | 25 | 24 | 23 | 21 | 21 | 19 | 19 | 91 | 41 | 39 | 38 | 36 | 34 | 33 | 32 | 31 |
62 | 28 | 26 | 25 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 92 | 42 | 40 | 38 | 36 | 35 | 34 | 32 | 31 |
63 | 28 | 26 | 25 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 93 | 42 | 40 | 39 | 37 | 35 | 34 | 33 | 32 |
64 | 29 | 27 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 94 | 43 | 41 | 39 | 37 | 36 | 35 | 33 | 32 |
65 | 29 | 27 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 95 | 43 | 41 | 39 | 38 | 36 | 35 | 34 | 33 |
66 | 30 | 28 | 26 | 25 | 24 | 23 | 21 | 21 | 96 | 44 | 42 | 40 | 38 | 37 | 35 | 34 | 33 |
67 | 30 | 28 | 27 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 97 | 44 | 42 | 40 | 38 | 37 | 36 | 34 | 33 |
68 | 31 | 29 | 27 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 98 | 45 | 43 | 41 | 39 | 38 | 36 | 35 | 34 |
69 | 31 | 29 | 28 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 99 | 45 | 43 | 41 | 39 | 38 | 37 | 35 | 34 |
70 | 31 | 30 | 28 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 100 | 46 | 44 | 42 | 40 | 38 | 37 | 36 | 35 |
71 | 32 | 30 | 29 | 27 | 26 | 25 | 23 | 23 | |||||||||
72 | 32 | 31 | 29 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | |||||||||
73 | 33 | 31 | 29 | 28 | 27 | 26 | 24 | 23 | |||||||||
74 | 33 | 31 | 30 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | |||||||||
75 | 34 | 32 | 30 | 29 | 27 | 26 | 25 | 24 |
* Доверительные границы не могут быть определены для данного уровня доверия и данного объема выборки.
Таблица 2 — Значения к для определения границ двустороннего доверительного интервала при объеме выборки от 5 до 100 элементов
Объем мЛф. | Значение к при уровне доверия. % | Объем выбор-ки л | Значение к при уровне доверия. % | ||||||||||||||
КИ л | 80 | 90 | 95 | 98 | 99 | 99.5 | 99.8 | 99.9 | 80 | 90 | 95 | 98 | 99 | 99.5 | 99.8 | 99.9 | |
5 | 1 | 1 | « | • | • | • | * | е | |||||||||
о | 1 | •1 | 1 | • | * | 16 | 5 | 5 | 4 | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | |||
и 7 | £ о | I о | 1 4 | I 4 | • | • | • | 17 | 6 | 5 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | |
( 8 | £ з | с 2 | 1 2 | I 1 | I 1 | 1 | « | е | 18 | 6 | 6 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 |
9 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | « | 19 | 7 | 6 | 5 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 |
10 | 4 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | * | 20 | 7 | 6 | 6 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 |
11 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 21 | 8 | 7 | 6 | 5 | 5 | 4 | 4 | 3 |
12 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 22 | 8 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 | 4 | 4 |
13 | 4 | 4 | 3 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 23 | 8 | 8 | 7 | 6 | 5 | 5 | 4 | 4 |
14 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 1 | 24 | 9 | 8 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 | 4 |
15 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 25 | 9 | 8 | 8 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
Окончание таблицы 2
Объем выбор* хи п | Значение к при уровне доверия. % | Объем | Значение к при уровне доверия. % | ||||||||||||||
80 | 90 | 95 | 98 | 99 | 99.5 | 99.8 | 99.9 | хи л | 80 | 90 | 95 | 98 | 99 | 99.5 | 99.8 | 99.9 | |
26 | 10 | 9 | 8 | 7 | 7 | 6 | 5 | 5 | 66 | 28 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
27 | 10 | 9 | 8 | 8 | 7 | 6 | 6 | 5 | 67 | 28 | 27 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
28 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 68 | 29 | 27 | 26 | 24 | 23 | 23 | 21 | 21 |
29 | 11 | 10 | 9 | 8 | 8 | 7 | 6 | 6 | 69 | 29 | 28 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 |
30 | 11 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 7 | 6 | 70 | 30 | 28 | 27 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 |
31 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 8 | 7 | 7 | 71 | 30 | 29 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 |
32 | 12 | 11 | 10 | 9 | 9 | 8 | 7 | 7 | 72 | 31 | 29 | 28 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 |
33 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 9 | 8 | 7 | 73 | 31 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 | 23 | 23 |
34 | 13 | 12 | 11 | 10 | 10 | 9 | 8 | 8 | 74 | 31 | 30 | 29 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 |
35 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 9 | 8 | 75 | 32 | 30 | 29 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 |
36 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 10 | 9 | 8 | 76 | 32 | 31 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 |
37 | 15 | 14 | 13 | 11 | 11 | 10 | 9 | 9 | 77 | 33 | 31 | 30 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 |
38 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 10 | 9 | 78 | 33 | 32 | 30 | 29 | 28 | 27 | 25 | 25 |
39 | 16 | 14 | 13 | 12 | 12 | 11 | 10 | 9 | 79 | 34 | 32 | 31 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 |
40 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 10 | 80 | 34 | 33 | 31 | 30 | 29 | 28 | 26 | 25 |
41 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 12 | 11 | 10 | 81 | 35 | 33 | 32 | 30 | 29 | 28 | 27 | 26 |
42 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 11 | 82 | 35 | 34 | 32 | 31 | 29 | 28 | 27 | 26 |
43 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 12 | 11 | 83 | 36 | 34 | 33 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 |
44 | 18 | 17 | 16 | 14 | 14 | 13 | 12 | 11 | 84 | 36 | 34 | 33 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 |
45 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 12 | 85 | 37 | 35 | 33 | 32 | 31 | 30 | 28 | 27 |
46 | 19 | 17 | 16 | 15 | 14 | 14 | 13 | 12 | 86 | 37 | 35 | 34 | 32 | 31 | 30 | 29 | 28 |
47 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 87 | 38 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 | 29 | 28 |
48 | 20 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 13 | 88 | 38 | 36 | 35 | 33 | 32 | 31 | 30 | 29 |
49 | 20 | 19 | 18 | 16 | 16 | 15 | 14 | 13 | 89 | 38 | 37 | 35 | 34 | 32 | 31 | 30 | 29 |
50 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 14 | 90 | 39 | 37 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 | 30 |
51 | 21 | 20 | 19 | 17 | 16 | 16 | 15 | 14 | 91 | 39 | 38 | 36 | 34 | 33 | 32 | 31 | 30 |
52 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 92 | 40 | 38 | 37 | 35 | 34 | 33 | 31 | 30 |
53 | 22 | 21 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 15 | 93 | 40 | 39 | 37 | 35 | 34 | 33 | 32 | 31 |
54 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 94 | 41 | 39 | 38 | 36 | 35 | 33 | 32 | 31 |
55 | 23 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 95 | 41 | 39 | 38 | 36 | 35 | 34 | 33 | 32 |
56 | 23 | 22 | 21 | 19 | 18 | 18 | 17 | 16 | 96 | 42 | 40 | 38 | 37 | 35 | 34 | 33 | 32 |
57 | 24 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 97 | 42 | 40 | 39 | 37 | 36 | 35 | 33 | 32 |
58 | 24 | 23 | 22 | 20 | 19 | 18 | 17 | 17 | 98 | 43 | 41 | 39 | 38 | 36 | 35 | 34 | 33 |
59 | 25 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 99 | 43 | 41 | 40 | 38 | 37 | 36 | 34 | 33 |
60 | 25 | 24 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 100 | 44 | 42 | 40 | 38 | 37 | 36 | 35 | 34 |
61 | 25 | 24 | 23 | 21 | 21 | 20 | 19 | 18 | |||||||||
62 | 26 | 25 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | |||||||||
63 | 26 | 25 | 24 | 22 | 21 | 20 | 19 | 19 | |||||||||
64 | 27 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | |||||||||
65 | 27 | 26 | 25 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 |
* Доверительные границы не могут быть определены для данного уровня доверия и данного объема выборки.
6.4 Метод определения границ доверительного интервала для больших выборок (л > 100)
В случае объема выборки более 100 значение к для заданного уровня доверия определяется как целая часть величины у, рассчитанной по уравнению

(1)
где и— квантиль стандартного нормального распределения.
В таблице 3 приведены значения «иг для определения границ одностороннего доверительного
интервала. В таблице 4 приведены значения и и с для определения границ двустороннего доверительного интервала.
Таблица 3 — Значения ии с для определения границ одностороннего доверительного интервала
Уровень доверия. % | Значение и | Значение с |
80,0 | 0.841 621 22 | 0,7500 |
90.0 | 1,281 551 56 | 0,9030 |
95,0 | 1.644 853 64 | 1,0870 |
98,0 | 2,053 748 92 | 1,3375 |
99,0 | 2,326 347 88 | 1,5360 |
99.5 | 2,575 829 30 | 1,7400 |
99,8 | 2,878 161 73 | 2,0140 |
99.9 | 3,090 232 29 | 2,2220 |
Значения к, полученные с применением уравнения (1), соответствуют значениям, приведенным в таблицах 1 и 2. При сохранении при расчетах восьми десятичных знаков данный метод является чрезвычайно точным и дает правильные значения к для восьми значений уровня доверия и всех объемов выборки от 5 до 280000 для определения границ как одностороннего, так и двустороннего доверительных интервалов.
Примеры вычисления доверительных границ для больших выборок приведены в приложении В.
Примечание — Для простоты значения в таблицах 3 и 4 приведены с минимально необходимым для обеспечения приемлемой точности уравнения (1) количеством десятичных знаков.
Таблица 4 — Значения и и с для определения границ двустороннего доверительного интервала
Уровень доверия, % | Значение и | Значение с |
80,0 | 1,281 551 56 | 0,903 |
90,0 | 1,644 853 64 | 1,087 |
95.0 | 1,959 964 00 | 1,274 |
98.0 | 2,326 347 88 | 1,536 |
99,0 | 2,575 829 30 | 1,740 |
99.5 | 2,807 033 76 | 1,945 |
99.8 | 3,090 232 29 | 2,222 |
99,9 | 3,290 526 72 | 2,437 |
Приложение А (справочное)
Классический метод определения границ доверительных интервалов для медианы
Предположим, что выборка объема п выбрана случайным образом из непрерывной генеральной совокупности. Тогда вероятность того, что точно к выборочных значений будут менее медианы совокупности, описывается биномиальным распределением:

Это является также и вероятностью того, что точно к выборочных значений будут более медианы совокупности.
Нижней и верхней границами двустороннего доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности (1 - а), являются достаточные статистики а^ и соответственно. Значение величины к должно
удовлетворять следующим неравенствам:




(А.2)
то есть
(А.З)
(А.4)
При определении границ одностороннего доверительного интервала в уравнениях (А.1)— (А.4) необходимо заменить а/2 на а.
Приложение В (справочное)
Примеры определения доверительных границ
В.1 Пример 1
Электрические шнуры для небольших приборов изгибаются в процессе испытаний до отказа. Испытания моделируют реальное использование в ускоренном режиме. Ниже приведены отказы шнуров в часах (исходные данные). Испытывалось 24 объекта. Испытания семи шнуров приостановлены до наступления отказа (цензурированные данные). Эти значения отмечены звездочкой. Остальные шнуры отказали.
57,5 | 77,8 | 88,0 | 96,9 | 98.4 | 100,3 |
100.8 | 102,1 | 103,3 | 103,4 | 105,3 | 105,4 |
122,6 | 139,3 | 143,9 | 148,0 | 151,3 | 161,1* |
161,2* | 161,2* | 162,4* | 162,7* | 163,1* | 176,8* |
Необходимо определить точечную оценку медианы и нижнюю доверительную границу медианы для уроеня доверия 95 %.
Точечная оценка медианы наработки до отказа определяется следующим образом:
Ц|2| + л-||31)/2 = (105,4 + 122,6)/2 = 114,0 ч.
Для определения нижней доверительной границы одностороннего доверительного интервала с уровнем доверия 95 % необходимо по таблице 1 для п = 24 и уровня доверия 95 % определить значение к, а затем отыскать по исходным данным А-ю порядковую статистику. В соответствии с таблицей 1 к = 8, тогдал,8]= 102,1. Таким образом, можно утверждать, что с вероятностью 0,95 медиана совокупности больше или равна 102.1 ч.
Примечание — Точечная оценка и нижняя граница доверительного интервала медианы могут определяться без использования наибольших значений выборки.
Вычисления точечной оценки медианы показаны в таблице В.1.
Таблица В.1 — Вычисление точечной оценки медианы (пример 1)
Бланк для расчета | Пример заполнения бланка для расчета |
Идентификационные данные Данные наблюдения: Единицы: Замечания: | Идентификационные данные Данные наблюдения: Наработка до отказа 24 электрических шнуров, изгибаемых испытательной машиной. Испытания моделируют реальное применение в ускоренном режиме. Единицы: часы Замечания: Семь самых больших наработок до отказа были цензурированы. Поскольку количество цензурированных данных меньше половины объема выборки, данные результаты наблюдений могут использоваться для расчетов |
Предварительная операция Расположите наблюдаемые значения в порядке неубывания, т.е: Х[1|Л|2|.....х[«] | Предварительная операция Расположите наблюдаемые значения в порядке неубывания, т.е: ХШ.Х[2|.....х|л| |
Исходные данные Объем выборки л: л =
| Исходные данные Обьем выборки л: л = 24
|
Окончание таблицы В. 1
Бланк для расчета | Пример заполнения бланка для расчета |
Необходимые предварительные вычисления | Необходимые предварительные вычисления |
В случае а) | В случае а) |
т = (л + 1 )/2: т - | т - (л + 1 )/2: т - |
В случае Ь) | В случае Ь) |
т = л/2: т = | m = nt2: /л =12 |
Вычисление выборочной медианы х | Вычисление выборочной медианы х |
В случае а) | В случае а) |
х равна m-й порядковой статистике, т.е. | х равна лт-й порядковой статистике, т.е. |
X - Ари] : х = | х = X[W]: х = |
В случае Ь) | В случае Ь) |
х равна среднеарифметическому льй и (т + 1)-й порядковых статистик, т.е: | х равна среднеарифметическому m-й и (т ♦ 1)-й порядковых статистик, т.е: |
х = (х[«] + лоя+1])/2: | х = * л>*1]У2: |
Х|т] = | Х[Я() =105.4 |
Хря+1)= | X[W*i] = 122.6 |
х = ( + У2 = | х = (105.4+ 122,6)/2 = 114,0 |
Результат | Результат |
Выборочная медиана (точечная оценка медианы совокупности) х равна | Выборочная медиана (точечная оценка медианы совокупности) х равна 114,0 |
В.2 Пример 2
Ниже приведены усилия в ньютонах (Н). необходимые для разрыва отрезка нейлоновой пряжи. Испытывалось 120 отрезков. Данные расположены в порядке неубывания.
31,3 | 33,3 | 33,5 | 35,6 | 36,0 | 36,2 | 36,5 | 37,5 | 37,8 | 37,9 | 38,8 | 39,1 | 40,3 | 40,4 | 40,8 |
41,0 | 41,8 | 42,4 | 42,9 | 43,1 | 43,2 | 43,5 | 43.9 | 43,9 | 44,0 | 44.2 | 44,2 | 44,5 | 44,7 | 44.7 |
45,0 | 45,6 | 46,0 | 46,0 | 46,1 | 46,1 | 46,3 | 46,3 | 46,3 | 46,4 | 46,5 | 46,7 | 47.1 | 47.1 | 47,1 |
47.2 | 47.3 | 47,4 | 47.5 | 47,5 | 47.8 | 47.8 | 47.9 | 47,9 | 48,0 | 48.0 | 48,2 | 48,2 | 48,3 | 48.3 |
48,3 | 48,5 | 48,6 | 48.6 | 48,6 | 48,6 | 48.8 | 48,9 | 48,9 | 48,9 | 49,0 | 49,0 | 49,1 | 49,1 | 49,1 |
49,1 | 49,2 | 49,2 | 49,3 | 49,4 | 49,4 | 49,4 | 49,4 | 49,5 | 49,5 | 49,6 | 49,7 | 49,9 | 49,9 | 50,0 |
50,1 | 50,2 | 50,2 | 50,3 | 50,3 | 50,3 | 50,5 | 50,7 | 50,8 | 50,9 | 50,9 | 51,0 | 51,0 | 51.2 | 51,4 |
51,4 | 51,4 | 51,6 | 51,6 | 51,8 | 52,0 | 52.2 | 52,2 | 52,4 | 52.5 | 52.6 | 52.8 | 52,9 | 53,2 | 53,3 |
Необходимо определить точечную оценку медианы усилия разрыва и границы двустороннего доверительного интервала этой величины для уровня доверия 99 %.
Точечная оценка медианы усилия разрыва определяется следующим образом:
.т = ЦбО| + ^бц)/2 = (48.3 + 48,3>/2 = 48,3 Н.
Таблицы 1 и 2 для п > 100 не указывают значение к, необходимое для определения доверительных границ. В рассматриваемом случае для определения доверительных границ необходимо использовать таблицу 4 и уравнение (1). В соответствии с таблицей 4 для уровня доверия 99 % л = 2,57582930. с - 1,74. Подставляя эти значения и п = 120 в уравнение (1), получаем у - 46,448. Целая часть этого числа составляет 46, таким образом к = 46. В соответствии с разделом 7 двусторонний доверительный интервал, соответствующий уровню доверия 99 %, имеет следующий вид:
)l = IX|46]’X|75|I = I47’2’ 49JI Н.
Таким образом, можно утверждать с вероятностью не менее 0,99, что среднее усилие разрыва совокупности накрывается интервалом (47,2 Н. 49.1 Н].
Порядок расчета границ доверительного интервала приведен в таблице В.2.
Таблица В.2 — Вычисление интервальной оценки медианы (пример 2)
Бланк для расчета | Пример заполнения бланка для расчета | ||
Идентификационные данные | Идентификационные данные | ||
Данные наблюдения процедуры: | Данные наблюдения процедуры: | ||
Предельное усилие разрыва 120 нейлоновой пряжи | отрезков | ||
Единицы: | Единицы:ньютоны | ||
Замечания: | Замечания: | ||
Двусторонний доверительный интервал, соответствующий уровню доверия 99 % | |||
Предварительная операция | Предварительная операция | ||
Расположите наблюдаемые значения в неубывания, т.е: | порядке | Расположите наблюдаемые значения в неубывания, т.е: | порядке |
Хцр Х|2|» • • • ’ -*|Л| | Л'|Ц’Х|2|..... | ||
Исходные данные | Исходные данные | ||
Объем выборки п: п- | Объем выборки л: п «120 | ||
Уровень доверия С: С = % | Уровень доверия С: С = 99 % | ||
а) п < 100 — односторонний интервал | □ | а) п £ 100 — односторонний интервал | □ |
b) п s 100 — двусторонний интервал | □ | Ь) п < 100 — двусторонний интервал | □ |
с) п > 100 — односторонний интервал | □ | с) п > 100 — односторонний интервал | □ |
d) п > 100 — двусторонний интервал | □ | d) л > 100 — двусторонний интервал | и |
Для а) и с) в случае верхней доверительной границы нижняя граница значений случайной величины в генеральной совокупности равна: а = | Для а) и с) в случае верхней доверительной границы нижняя граница значений случайной величины в генеральной совокупности равна: а « | ||
Для а) или с) в случае нижней доверительной границы верхняя граница значений случайной величины в генеральной совокупности равна: b - | Для а) или с) в случае нижней доверительной границы верхняя граница значений случайной величины в генеральной совокупности равна: b = | ||
Определение к | Определение к | ||
В случае а) значение к определяется из таблицы 1: к = | В случае а) значение к определяется из таблицы 1: к- | ||
В случае Ь) значение к определяется из таблицы 2: к- | В случае Ь) значение к определяется из таблицы 2: к * | ||
В случае с) значения и и с определяются из таблицы 3: w = с = | В случае с) значения и ис определяются из таблицы 3: и - с = | ||
В случае d) значения цис определяются из таблицы 4: и = с = | В случае d) значения и и с определяются из таблицы 4: и = 2,575829 с =1,74 | ||
В случаях с) или d) значение >■ определяется из уравнения (1): у = | В случаях с) или d) значение у определяется из уравнения (1): >-=46.448 | ||
Значение к определяется хак целая часть значения у. к~ | Значение к определяется как целая часть значения у. к = 46 |
Окончание таблицы В.2
Бланк для расчета | Пример заполнения бланка для расчета |
Определение доверительных границ и/или 7'г В случаях а) или с) с нижней доверительной границей, а также в случаях t>) и d): 7i = Арф 7i = В случаях а) или с) с верхней доверительной границей и в случаях Ь) и d) необходимо подсчитать т = н — Л +1: т = 72 = Jqmj: Тг = Результаты Односторонний доверительный интервал с нижней доверительной границей для медианы совокупности, соответствующий уровню доверия С = %. имеет вид: [7i. &) = [ , ). Односторонний доверительный интервал с верхней доверительной границей для медианы совокупности, соответствующий уровню доверия С - %, имеет вид: (в. 7'2.1 = ( 1- Двусторонний симметричный доверительный интервал для медианы совокупности, соответствующий уровню доверия С = %, имеет вид: [7i.T2] = [ . ]■ | Определение доверительных границ Т\ и/или 7г В случаях а) или с) с нижней доверительной границей, а также в случаях Ь) и d): 7*i = дод: Т\ -47.2 В случаях а) или с) с верхней доверительной границей и в случаях Ь) и d) необходимо подсчитать т = п — к + 1: /и = 75 7г = л»: Tj = 49,1 Результаты Односторонний доверительный интервал с нижней доверительной границей для медианы совокупности, соответствующий уровню доверия С= %. имеет вид: [7-1. б) = [ . ). Односторонний доверительный интервал с верхней доверительной границей для медианы совокупности, соответствующий уровню доверия С- %, имеет вид: («. 72.1 = ( . ]. Двусторонний симметричный доверительный интервал для медианы совокупности, соответствующий уровню доверия С = 99 %, имеет вид: [7ц 7г]= [47.2,49.1]. |
Приложение С (справочное)
Сведения о соответствии национальных стандартов Российской Федерации ссылочным международным стандартам
Обозначение ссылочного международного стандарта | Обозначение и наименование соответствующего национального стандарта Российской Федерации |
ИСО 3534-1:1993 | ГОСТ Р 50779.10—2000 (ИСО 3534-1—93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения |
УДК 658.562.012.7:65.012.122:006.354 ОКС 03.120.30 Т59
Ключевые слова: случайная величина, функция распределения, точечная оценка, интервальная оценка, границы доверительного интервала, медиана
Редактор Т.С. Шеко Технический редактор Л.А Гусееа Корректор В.И Кануркина Компьютерная верстка С.В. Рябовой
Изд. яиц. № 02354 от 14.07.2000. Сдано в набор 03.02.2004. Подписано в печать 27.02.2004. Усл.печ.л. 1,66. Уч.-изд.л. 1,25. Тираж 560 экз. С 974. Зак. 236.
ИПК Издательство стандартов, 107076 Москва. Колодезный пер., 14. http://www.standards.ru e-mail: info@standards.ru Набрано 8 Издательстве на ПЭВМ
Отпечатано в филиале ИПК Издательство стандартов — тип. ‘Московский печатник". 105062 Москва, Лялин пер., 6. Плр No 080102