allgosts.ru03. УСЛУГИ. ОРГАНИЗАЦИЯ ФИРМ, УПРАВЛЕНИЕ И КАЧЕСТВО. АДМИНИСТРАЦИЯ. ТРАНСПОРТ. СОЦИОЛОГИЯ.03.120. Качество

ГОСТ Р 54521-2011 Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах

Обозначение:
ГОСТ Р 54521-2011
Наименование:
Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах
Статус:
Действует
Дата введения:
12/01/2012
Дата отмены:
-
Заменен на:
-
Код ОКС:
03.120.30

Текст ГОСТ Р 54521-2011 Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах



ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО

ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

ГОСТ Р 54521 — 2011



НАЦИОНАЛЬНЫЙ

СТАНДАРТ

РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ЗНАКИ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ В СТАНДАРТАХ

Издание официальное

епммфпифефм

2012

Предисловие

Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. № 184-ФЗ «О техническом регулировании», а правила применения национальных стан* дартов Российской Федерации — ГОСТ Р1.0—2004 «Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения»

Сведения о стандарте

1    ПОДГОТОВЛЕН Автономной некоммерческой организацией «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АНО «НИЦ КД») на основе собственного аутентичного перевода на русский язык стандарта, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН в ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 24 ноября 2011 г. No 595-ст

4    Настоящий стандарт разработан с учетом основных требований международного стандарта ИСО 80000-2:2009 «величины и единицы. Часть 2. Математические символы и знаки для применения в естественных науках и технологиях» (ISO 80000-2:2009 «Quantities and units — Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology»)

5    ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация об измене ниях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». а текст изменений и поправок — е ежемесячно изд авэемык информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация. уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и ме трологи и в сети Интернет

©Стандартинформ. 2012

Настоящий стандарт не может быть полностью или частич но воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

Содержание

га

Введение

Описание знаков, символов, выражений в настоящем стандарте приведено в форме таблиц (таблицы 4.1 —19.1). структура которых, за исключением таблицы 16.1, одинакова.

В первой колонке этих таблиц приведен номер знака, символа, выражения.

8о второй колонке таблицы («Знак, символ, выражение») приведено изображение рассматриваемых знака, символа, выражения. Если более одного знака, символа или выражения приведено для одного объекта, они являются одинаково применимыми и эквивалентными.

8 некоторых случаях рекомендуется при менять единственное выражение.

8 третьей колонке таблицы («Значение, устный эквивалент») приведено описание значения объекта и ею устный эквивалент. Значение приведено для идентификации соответствующею понятия и не является полным математическим определением.

8 четвертой колонке таблицы («Примечания, примеры») приведена полезная дополнительная информация. Приведенные определения являются достаточно краткими. Определения с математической точки зрения не являются полными.

Структура таблицы 16.1 несколько иная.

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ЗНАКИ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ В СТАНДАРТАХ

Statistical methods. Mathematical symbots and signs to be used in the standards

Дата введения — 2012—12—01

1    Область применения

В стандарте приведены общие сведения о математических символах и знаках, их значениях, устных эквивалентах и применении.

Рекомендуемые в стандарте символы и знаки предназначены главным образом для использования в стандартах, но могут быть использованы также и в других областях. При веденные в настоящем стандарте математические сим волы соответствуют требованиям ИСО 80000-2 [1]. ГОСТ 1.5.

2    Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использована нормативная ссылка на следующий стандарт:

ГОСТ 1.5—2001 Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Общие требования к построению, изложению. оформлению, содержанию и обозначению

3    Переменные, функции и операторы

ПАрАиямыкю. такие как к. у. и т л . и ицпакпы. такиА как /я У,у,, г.гмдуат итображатк курсиаом Параметры. такие как а, Ь. и т. д., рассматриваемые е контексте как постоянные, изображают курсивом. Тоже относится ко всем функциям, например f. д.

Четко определенные функции независимо от контекста изображают без наклона (вертикально), например sin.exp. In. Г. Математические константы изображают без наклона (вертикально), например е = 2.718 218 8...; к - 3,141 592...; i2 - -1. Четко определенные операторы также изображают без наклона (вертикально), например div. б в 5, и d в df/dx.

Числа, представленные цифрами, всегда изображают прямым шрифтом (вертикально), например 351 204; 1.32; 7/8.

Аргумент функции указывают в круглых скобках после символа функции без пробела между сим во лом функции и первой круглой скобкой, например Г(х). cos(wf +• ф). Если символ функции состоит из двух или большего количества букв, а аргумент не содержит символа операции (♦,    х. или У), круглые скобки

вокруг аргумента могут быть опущены. В этих случаях должен быть небольшой пробел между символом функции и аргументом, например int 2.4; sin on:arcosl*2A; Eix.

Если существует возможность ошибки, необходимо использовать круглые скобки. Например, cos х* у лучше записать в виде cos(x) + у. чтобы исключить ошибочное понимание этой формулы.

Издание официальное

Запятая, точка с запятой или другой соответствующий символ могут быть использованы для разделе* мия чисел или выражений. Предпочтительно использование запятой, кроме тех случаев, когда ев используют при записи десятичных дробей.

Если выражение или уравнение должно быть записано в две или более строк, следует применять правила, установленные в ГОСТ 1.5.

По возможности разрыв формулы не следует использовать внутри выражения в круглых скобках.

Общепринято использование различных букв (греческого, латинского или других алфавитов) для различных объектов. Это делает формулы более удобными и помогает в восприятии соответствующего текста. При использовании нескольких шрифтов необходимо приводить соответствующие пояснения (при необходимости).

4 Математическая логика

Знаки, символы, выражения, используемые в математической логике, приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в математической логике

Номер знака, смыоолэ. еы ражеиия

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

4.1

рд g

Конъюнкция р и q, р и q

4.2

pv q

Дизъюнкция р и ц. р или д

Выражение pvq является истинным, если истинно р или q или оба

4.3

Отрицание р. не р

В качестве эквивалентного может быть использовано обозначение р. В математике аналогичное обозначение используют также для обозначения выборочного среднего (см. 9.12) и комплексно сопряженного числа (см. 14.6)

4.4

Р=> q

р включает д, если р. то д

g <= р имеет то же значение, что и р=»д.

=> символ включения

4.5

Р<=> <7

р эквивалентно q

(р =э д) л (д => р) имеет то же значение, что и рва>д.

<=> символ эквивалентности

4.6

Vxe А р(х)

Для каждого х. принадлежащего множеству А. высказывание р(х) истинно

Если из контекста ясно, что представляет собой множест во А. выражение Vx р(х) может быть использовано.

V — квантор общности.

Для хе А см. 5.1

4.7

Зх е А р(х)

Существует х. принадлежащий множеству А, для которого р(х) истинно

Может быть использовано выражение Зхр(х). если из контекста ясно, что представляет собой множество А.

3 — квантор существования.

Дляхе А. см 5.1.

Выражение Э'х р(х) означает, что существует только один элемент, для которого р(х) истинно. Выражение 3! испотъэуют как эквивалент 3’

5 Множества

Таблица 5.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в теории подмножеств

Howep знака, сиыеола, оы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный

эквивалент

Примечания, примеры

5.1

Х€ А

х принадлежит А. х является элементом множества А

Выражение4 »химеегготже смысл.чтоихе А

5.2

у« А

у не принадлежит А. у не является элементом множества А

Выражение А)у имеет то же смысл, что и у в А. Знак отрицания может также быть вертикальным

5.3

{*!•*?.....

Совокупность элементов х,. хг.....*п

Эквивалентным является выражение {х, |т /}. где / — совокупность индексов

5.4

{х еЛ | р<х»

Количество элементов множества А. для которых р(х) истомно

Пример — {х « Rjx s 5}. В качестве эквивалентного выражения может быть использовано выражение {xlp(x)), если из контекста ясно, что представляет собой множество А. Например, {хре £ 5}. если ясно, что х — действительное число

5.5

card А

И1

Количество элементов множества А.

Мощность множества А

Мощность множества может быть бесконечной (см. 9.16)

Примеры —

И» к

|В| = Х.

где А — множество целых чисел.

В — множество вещественных чисел.

К — мощность бесконечного множества

5.6

г>

Пустое множество

5.7

А

Множество В принадлежит множеству А.

В является подмножеством А

Каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

Выражение А э В имеет тот же смысл, что и Вс А

5. В

Вс А

В целиком принадлежит множеству А.

В — собственное подмножество множества А

Каждый элемент множества В принадлежит множеству 4. но существует по крайней мере один элемент множества 4. не принадлежащий множеству В.

Выражение A z> В имеет тот же смысл, что и6с4

5.9

AUB

Объед инение множеств А\лВ

Множество, содержащее все элементы множеств 4 и В.

Аие = Мхб AvxeB}

5.10

АПВ

Пересечение множеств А и В

Множество, содержащее элементы, принадлежащие одновременно множеству 4 и множеству В.

АПВ = {х|хе4лхб В}

Окончание таблицы 5.1

Номер знака, сиыоола. вы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

5.11

л

IR

j-1

A, U*2U... UA,

Объединение множеств Л). Аг.....Ал

Множество, элементы которого принадлежат

хотя бы одному из множеств А,. Aj.....А„.

В качестве эквивалентных могут быть использованы знаки ЦТ-t- U и

/« У

|де / — множество индексов

5.12

О

ги.

)-%

А, О Aj О... О Ап

Пересечение множеств

А......Ап

Множество, элементы которого принадлежат

одновременно всем множествам А,. А2.....Ал.

В качестве эквивалентных могут быть использованы знаки If.,. П и ft,,.

«г

где / — тожество индексов

5.13

А\В

Разность множеств Айв. А минус В

Множество, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

А\В - {xjx б А Л хе S}.

Н1е следует использовать выражение А - В.

Иногда в качестве эквивалентного используют выражение £*в. Главным образом его применяют когда в — подмножество множества А. Символ А может быть опущен, если из контекста ясно, что представляет собой множество А

5.14

(а. Ь)

Упорядоченная пара в, в, пара а, 0

(а. б) = (с, d) тогда и только тогда а « с и b-d.

В качестве разделительного знака могут быть использованы точка с запятой (;) или знак (|)

5.15

(■i.aj.....вя)

Упорядоченный л-хортеж

См. замечание к 5.14

5.16

Ах В

Дркартлап проитвядянио множеств Айв

Множество упорядоченных пар (а. Ы. таких. чгоаеАиРев.

А х в = {(х. у)|х€Алуев)

5.17

ГК ■ -1

At хА2 Х...ХА„

Декартово произведение множеств А,. Аг.....Ал

Множество упорядоченных л-кортежей

(х,. х2.....хл), таких, что х, «А,. х2 еА2.....

хпеАл.

А х А X ... X А обозначают А'1, где л — количество сомножителей в произведении

5.18

id*

Отношение идентичности на А.

Диагональ А х А

id* есть множество всех пар (х, х), где хеА.

Символ А может быть опущен, если из контекста понятно, что представляет собой множество А

6 Стандартные множества чисел и интервалы

Знаки, символы, выражения, используемые для стандартных множеств чисел и интервалов, приведены в таблице 6.1.

Номер мака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

6.1

N

Множество всех натуральных чисел.

Множество, элементами которого являются все положительные целые числе и нуль

N = {0.1.2.3....}.

N* *{1.2.3.

Другие ограничения могут быть указаны очевидным способом, как показано ниже.

N>5 = {л € N|/> > 5}

6.2

Z

Множество целых чисел

Z = {....-2.-1.0. 1.2....}.

Z* ■ (л eZjn *0}.

Другие ограничения могут быть указаны очевидным способом, как показано ниже.

Zj-з * {л е Zjn г-3}

6.3

Q

Множество рациональных чисел

Q* s{r«QJr*0}.

Другие ограничения могут быть указаны очевидным способом, как показано ниже.

Q<o = {reQ|r<0}

6.4

R

Множество действительных чисел

R* = {x€R|x* 0}.

Другие ограничения могут быть указаны очевидным способом, как показано ниже.

R-o = {хе Rlx20}

6.5

С

Множество комплексных чисел

С* ={zeCU*0}

6.6

Р

Множество простых чтсел

Р = {2. 3.5. 7.11.13.17, ...}

6.7

1*6]

Закрытый интервал от а до 6 с включением конечных точек а и 6

[а. 6] »{х « R|a S х & Ь)

6.6

(* 6]

Интервал, открытый слева, от а до Ь с включением точки 6

(э. Ь| = {х е R|a < х s 6}.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение ]а. б|

6.9

[а. 6)

Интервал, открытый справа, от а до 6 с включением точки а

[а. 6) = {х е R|a £ х < 6}.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение (а. Ь{

6.10

(а. 6)

Открытый интервал от а до 6 баз включения точек а и 6

(э. 6) * {х б R|a < х < 6}.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение ]а. 6(

6.11

(—. 6]

Полузакрытый неограниченный интервал до 6. включая точку b

(—so. г>] ={Х€ Rjx й Ь).

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение }-**>. 6]

6.12

(-".6)

Полуоткрытый неограниченный интервал до Ь. исключая точку Ь

(-«•. b)~{xe R|x < Ь).

В качестве эквивалентного может быть ис-погъзовано выражение }- Ь[

6.13

[а. +»]

Полузакрытый неограниченный интервал до а. включая точку а

[а. +»> = {хе R|a S х}.

В качестве эквивалентных могут быть использованы выражения [а. »= [, [а. + •* [ и (а. «»)

6.14

(а. +*)

Полуоткрытый неограниченней интервал до а исхгючая точку а

(в. + о»)» {х € R|a < ж).

В качестве эквивалентных могут быть использованы выражения ]з. + »[. }а. <-» [ и (а, «»)

7 Разные знаки и символы

Таблица 7.1 — Знаки, символы, выражения, используемые для разных знаков и символов

Номер знака, символа, вы ражеиия

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

7.1

а = b

а равно Ь

Может быть использован символ =. есты необходимо подчеркнуть идентичность а и б (см. 7.18)

7.2

а* Ь

а не равно 6

Черточка отрицания может также быть вертикальной

7.3

а:= Ь

а по определению равно Ь

Пример —

р := ты, где р — импульс, m — масса. V — скорость.

Могут также быть использованы символы seM> и^

7.4

а = Ь

а соответствует b

Пример —

Если Е = кТ, то1 eV£n604.5K.

Если 1 см на карте соответствует длине 10 хм. можно записать 1 см = 10 км.

Соответствие не может быть симметричным

7.5

а * Ь

а приближенно равно Ь

Качество приближения определяет пользователь. Равенство включено

7.6

а*Ь

а асимптотически равно б

Пример - й,_в)“х_в при х-к а. (для х -* а. см. 7.16)

7.7

а - b

а пропорционально Ь

Символ - также используют для обозначения отношения эквивалентности.

В качестве эквивалентного может быть исполь-jutMHu вырежи пис а 1)

7.8

M2N

М конгруэнтно N, М изоморфно N

Пример —

М и N — множества точек (геометрические фигуры).

Этот символ также используют для обозначения изоморфизма математических структур

7.9

а<Ь

а меньше Ь

7.10

6 > а

Ь больше а

7.11

эй Ь

а меньше или равно Ь

7.12

6 г а

Ь больше или равно а

7.13

а«Ь

а много меньше Ь

Является ли а достаточно маленьким по сравнению с б определяет пользователь

7.14

б » а

Ь много больше а

Является ли б достаточно большим по сравнению с а определяет пользователь

Номер знака.

сиыоола.

выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечание, примеры

7.15

ее

Бесконечность

Данный символ не обозначает число, но является часто используемым в различных выражениях. относящихся к границам интервалов.

Также используют обозначение +•», —»

7.16

х —> а

х стремится к э

Данное выражение часто используют в различных выражениях для описания границ интервалов.

Вместо а могут быть исгтогъэоеаны ее, ■+=<•_ или

7.17

т\п

m нацело делит п. л делится на m без остатка

Для целых т и л:

ЗА« Z такое. что т - к- п

7.18

nak mod m

п конгруэнтно (сравнимо) с к по mod т (остатку от деления на т)

Для целых чисел п. к и т тЦп- Л) (см. 7.1)

7.19

(а + Ь) [а*Ь] {э*Ь}

{а + ъ)

Круглые скобки Квадратные скобки Фигурные скобки Угловые скобки

Рекомендуется по возможности использовать гогъко крутые скобки, т. к. у квадратных и фигурных скобок есть определенное значение а специфических областях

8 Элементарная геометрия

Знаки, символы, выражения, используемые в элементарной геометрии, приведены в таблице 8.1.

Таблица 8.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в элементарной геометрии

Номер знака, сиыоола. еы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, приыерм

8.1

АВЦСО

Прямая ЛВ параллельна прямой СО

Записывают 9 || h. если g и h — прямые линии, проходящие чорюэ точки А. В и С. О соответственно.

В качестве эквивалентной используют запись AB//CD

8.2

AB1CD

Прямая АВ перпендику-лярка прямой СО

Записывают g 1 h. если g и h — прямые, проходящие через точки А. В и С. О соответственно. На графике прямые линии должны пересекаться под прямым углом

8.3

«АВС

Угоп при вершине В треугольника АВС

В общем случае угол имеет направление и для него справедливы следующие соотношения:

«АВС = «СВ А.

OS-«ABCS я рад

8.4

АВ

Отрезок прямой от А до В

Отрезок прямой — множество точек между точками А и В на прямой АВ

8.5

-*

АВ

Вектор от А до В

—* —>

Если AB = CD. то В находится на таком же расстоянии от А. как D от С. Из этого следует, что А » С и В = D

8.6

d(A.B)

Расстояние между точками АиВ

—¥

Длина отрезке А8. а также величина вектора АВ

9 Операции

Знаки, символы, выражения, используемые для обозначения операций, приведены в таблице 9.1.

Таблица 9.1 — Знаки, символы, выражения, используемые для обозначения операций

Номер знака, символа, вы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

9.1

Э + Ь

а плюс b

Эту операцию называют операцией сложения. Символ «+» является знаком сложения

9.2

з-О

а минус Ь

Эту операцию называют операцией вычитания. Символ «-» является знаком вычитания

9.3

3 1b

а ппюс/мимус Ь

Это — комбинация двух значений в одном выражении

9.4

а Т Ь

а монус/ллюс b

-{a ±b) = -a Т Ь

9.5

з b

а х Ь а Ь ab

Умножение а на Ь

Эту операцию называют операцией умножения. Символом умножения является точка (-) или косой крестик (х).

Знак умножения может быть опущен, если ошибка исключена.

См. также 5.16. 5.17. 17.11. 17.12. 17.23 и 17.24 для использования точки и крестика в различных случаях

9.6

а

Ь

alb

Деление а на 5

См. также 7.1.3 [3].

Для деления применяют также знак (:).

Пример — Отношение высоты Л к ширине Ь листа А4 рвано h:b- ^2.

Не следует использовать знак +

9.7

п

X*.

/•1

в,+аг + ... + зл. сумма а,.а2.....ап

Применимы также выражения

ЕЛ 1а>

9.8

ft

П*

>-«

е< • Зг -... - э„, произведение е,. вг.....а„

Применимы также выражения П,.Л П*>-

П*. и Па>

9.9

а?

в 8 степени р

Устным эквивалентом в2 является а в квадрате. Устным эквивалентом з3 является а а кубе

9.10

aV2

Я

а в степени ’/2.

Корень квадратный из а

Если з 2 0. то Ja 2 0.

Для обозначения квадратного корня не следует применять символ \а.

См. 9.11

9.11

а«"

з 8 степени 1/п.

Корень л-й степени из а

Еспи згО. го °JazQ.

Для обозначения корня л-й степени не следует применять va.

Для исключения ошибки в сложных случаях следует применять круглые скобки

Номер знака, символа, вы ражения

Знак, сиыооп. виража ниа

Значение и устный а коивалеи?

Примечания, примеры

9.12

х

W

**

Выборочное среднее х. Среднее арифметическое х

Другие выборочные значения:

-    гармоническое среднее обозначают добавлением индекса h,

-    среднее геометрическое обозначают добавлением индекса д.

• квадратный корень из среднего арифметического квадратов или среднеквадратичное значение обозначают добавлением индекса q.

Индекс может быть опущен только для среднего арифметического

В математике х используют также для обозначения комплексного числа, сопряженного с х (см. 14.6)

9.13

sgn а

Сигнум а

Для действительного а:

1. еслие>0 0. если е=0

sgn а -

• 1. если а<0

См. 14.7

9.14

ш\Ш

Инфинум М

Наибольшая нижняя грань непустого множества, ограниченного снизу

9.15

sup М

Супремум М

Наименьшая верхняя грань непустого множества, ограниченного сверху

9.16

М

Абсолютное значение е. Модуль а.

Абсолютная величина а

Обозначение abs а также может быть использовано-.

Абсолютное значение действительного числа а. Модуль комплексного числа а (см. 14.4). Модуль вектора а (см. 17.4. 5.5)

9.17

И

Округление а до ближайшего целого в меньшую сторону (антье).

Наибольшее целое число, равное действительному числу а или меньше его

Обозначение ent а также может быть испогъзо-вано.

Примеры —

LZ4J=2.

L-Z4]=-3

9.18

М

Округление а до ближайшего целого в большую сторону.

Наименьшее целое число, больше или равное действительному числу а

Примеры —

[2.4 ] =3.

f-Z4l = -2

9.19

int а

Целая часть действительного числа в

int а - sgn a [)a|J Примеры — int (2.4) = 2. int (-2.4) = -2.

В качестве эквивалентного может быть использовано обозначение [а], kit а * [а]

Окончание таблицы &. 1

Номер знака, символа, вы ражения

Знак, символ, вираже ние

Значение и устный эдоивалеит

Примечания, примеры

9.20

frac а

Дробная часть действительного числа а

frac а » а - int а.

Примеры —

(гэо(2.4) = 0.4. frao{-2.4) = -0.4.

В качестве эквивалентного может быть использовано обозначение {a}, frac а = {а}

9.21

min(e. Д)

Минимум из а и Д

Операция выбора наименьшего числа из набора чисел. Однако в бесконечном наборе чисел может не быть наименьшего элемента

9.22

тах(э. Д)

Максимум из а и 0

Операция выбора наибольшего числа из набора чисел. Однако в бесконечном наборе чисел может не быть наибольшего элемента

10 Комбинаторика

Знаки, символы, выражения, используемые в комбинаторике, приведены в таблице 10.1. 8 данном разделе лик — натуральные числа и к £ л.

Таблица 10.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в комбинаторике

Номер знака, сиыаола. вы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эдвивалеит

Примечания. примеры

10.1

л!

Факториал числа л

Л

л!= Да =1 - 2 • 3 ... л (л > 0) 0! = 1

о- s а(в- 1> -... (а-к * 1) (* »0>

10.2

к

а-

[э]*

Убывающий факториал

ей =1

а может быть комплексным числом. Для натурального числа гг.

л* л!

Л (л-А)!

10.3

к

6-

ю*

Возрастающий факториал

а* ■ а(а + 1) ... • (а + к - 1) (* > 0)

э°= 1

а может быть комплексным числом.

Для натурального числа m

Г (я* к - 1)!

" = С«-1>1 '

(а)* называется символом Почхаммера в теории специальных функций. В комбинаторике и статистике этот символ часто используют для обозначения убывающего факториала

Номер знака, символа, вы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный а кеиваленг

Примечания. пример»

10.4

С)

Биномиальный коэффициент

М л'

UJ'*!(«-*)! (°sAsn>

10.5

в„

Числа Бернулли

1 VV'i + i’l

* )8"(л>01'

Bp-1.

В, = -1/2. = 0

10.6

ci

Число сочетаний из л по * без повторений

Г* И П! "'UJ'AUn-A)!

10.7

RCJ

Число сочетаний из л по Jr с повторениями

■*-ГГ)

10.8

YS

Количество размещений без повторений из л по А

V* -п1 = п! v/>-n (п-А)!

При л = А количество размещений равно количеству перестановок

10.9

я < ь >

Количество размещений с повторениями из л по А

RV*=n*

10.10

Рш

Количество перестановок порядка л

Ря = п\ Р*=<

11 Функции

Знаки, символы, выражения для функций приведены в таблице 11.1.

Таблица 11.1 — Знаки, символы, выражения для функций

Номер знака, сиывола. вы ряжения

Знак, символ, еыражение

Значение и устный алвивелемт

Примечания, примеры

п.1

1. д. h, ...

Функция

Функция ставит 8 соответствие каждому аргументу из области определения функции одно или несколько значений из области значений функции

11.2

/(X)

Г(х,.....х„)

Значение функции f для аргумента х или аргумента (х,.....х„) соответственно

Функция, имеющая л-аргументов. является л мерной функцией

11.3

1: А-*В

/ отображает А е S

Функция f имеет область определения А и область значений В

11.4

/:х-~ Т\х). хе А

1— функция, которая переводит хе А в 7(х)

Дх) обозначает значение функции / для аргумента х. Поскольку Цх) = Дх). определяющий символ часто используют а качестве символа вместо функции /.

Пример —

/:х —3х*у, я е [0:2].

/— функция параметра у. равная произведению Зх*у. определенная на заданном интервале [0: 2]

Продолжение таблицы 11.1

Номер мака, символа, еы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Приыечанин. примеры

11.5

t

X-»у

Цх)-у

1 сгаеит в соответствие значениям х значения у

Пример — сок

Я-»-1

11.5

'S

'(••“.-if;:»

т-т

/(.... Ь. а....)

Даннов обозначение используют главным образом при вычислении определенных интегралов

11.7

9 */

Сложная функция fvig

<9*/Хх) = д</(х)).

В выражении д" 1 указана последовательность применения функций g и f

11.8

Jim Цх)

X *♦ «

iim, _ t ((х)

Предел 1{х) при х стремящемся к а

Выражение /(х) -* Ь при х-*а может быть записано в виде Пт* _ a /(х) = Ь.

Пределы «справа» (х > а) и «слева» (х < а) обозначают в виде

!хп,^л, /(х) и Ikn, ^ _ /(х) соответственно

11.9

fl[x) = 0(g(x)>

Цх) есть О богъшое от д(х).

Отношение |/{х)/д(х)| ограничено сверху в пределе, подразумеваемом контекстом.

1{х) имеет порядок, сопоставимый с или менее д(х)

Символ «=>► в данном случае не является равенством и не обладает свойством транзитивности.

Пример —

sin х » 0(х) при х -» 0

11.10

Цх) = о(д(х))

f[x) есть о маленькое от д(х). Отношение ((х)/д(х) -* 0 в пределе, подразумеваемом контекстом.

Цх) имеет порядок менее 9<*)

Символ «=* в данном случае не является равенство*! и не обладает свойством транзитивности.

Пример —

сов х * 1 + о(х). при х —* 0

11.11

Л/

Дельта f.

Конечное приращение f

Разность двух значений функции. Примеры —

ДХ = Xj-Xf.

д/=А[хг)-Чх1)

11.12

d f dx

d//dx

Г

Производная от функции / по X

Данное обозначение следует использовать тотъко для функций одной переменной.

Обозначения dflxydx. Г(х) и Df также мо-гут быть использованы.

Если независимой переменной является время 1. то ( также может быть испотъэовано взамен Г

11.13

fd£.1

^dx/,.4

№»Х)шгЛ Г (a)

Значение производной функции f для х » а

Номер мака, символа, ейражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

11.14

dll dx" (W/dx" f |Л)

л-я производная функции ( по X

Следует использовать только для функций одной переменной.

d” fix)

--—. dft/(x)/dxn. Лп1(х) и DV также могут быть

dxn

использованы.

Г и Г* также используют для /<21 и /(3\ соответственно.

Если независимой переменной является время /. то для Г испогъэуют также обозначение i

11.15

df

дх

dfldx

<V

Частная производная функции fnox

Следует использовать только для функции не-

скольких переменшх ^ У• ■••Уд*.

О&охачения дх f(x. у.....) и D* f{x. у. ...) также

могут быть использованы.

Другие независимые переменные могут быть

гам

показаны в виде индексов, например )

Данные обозначения распространяются также на производные более высокого порядка, например

дГ<Э/1 дхг ~ дх\дх)‘

d*f д { df ) dxdy "Sx ^ ду )

Другие обозначения, например V =’3Kj'5y)' также могут быть использованы

11.16

0/

Полный дифференциал функции f

11.17

8/

Бесконечно малое изменение функции f

11.18

Jf(x)dx

Неопределенный интеграл функции 1

11.19

0

jf{x)ax

й

Определенный интеграл / от а до б

Это простой случай функдои. определенной на интервале. Интеграл от функции, имеющей более общую область определения, также может быть определен. Специальные обозначения, например

J- 1' J' f- используют для интеграла по кривой С.

CSV

поверхности S. трехмерной области V и замкнутой кривой или поверхности соответственно.

Многократные интегралы обозначают аналогично Я' $ ит.д.

Окончание таблицы 11.1

Номер мака, сиыеола. вы ражения

Знвс. символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

11.20

а

ff<x)dx

в

Значение интеграла типа Коши от функции (. имеющей особую точку с

lim где а

С-» ь 1

J f(x)dx + Jf(x)dx 1.

в е.« ) <С<Ь

11.21

Значение интеграла типа Коши от функции 1

lim

fffxjdxj

11.22

=

w{x. Ш.Ы*>.....Ш =

М*> м*) W

гх%х) Н{х) ... «(*) f'fnW- ty-'Hx)

Определитель

Вронского

Функции

f,{x). f2(x),..., f„{x) имеют общую область определения

12 Показательная и логарифмическая функции

Могут быть использованы сложные аргументы, е особенности с основанием е.

Знаки, символы, выражения для показателей и логарифмической функции приведены в таблице 12.1.

Таблица 12.1 — Знаки, символы, выражения для показателей и логарифмической функции

Номер знака, сиыеола. еы ражеиия

Знак, символ, виражение

Значение и устный э коиеялеи?

Примечании, примеры

12.1

е

Основание натурального логарифма

е :■ ( 1 + ■ 2.718 281 8 ...

12.2

а*

Показательная функция аргумента х с основанием а

См. 9.9

12.3

е1. ехр х

Показательная функция аргумента х с основанием е

См. 14.5

12.4

log*-*

Логарифм аргумента х по основанию а

Выражение log х используют в случаях, когда основание логарифма не указано

12.5

In X

Натуральный логарифм х

!п х = log^ х.

Не следует использовать log х вместо !пх, Igx. lbх. logex. logl0x. log2x

12.6

Igx

Десятичный логарифм х

Igx = log10 x Cm. 12.5

12.7

Ibx

Двоичный логарифм х

Ibx = k>g2x. Cm. 12.5

13 Тригонометрические и гиперболические функции

Знаки, символы, выражения для тригонометрических и гиперболических функций приведены в таблице 13.1.

Таблица 1Э.1 — Знаки, символы, выражения для тригонометрических и гиперболических функций

Номер знака, символа, еы ражения

Знак, символ, вираже ние

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

13.1

1C

Отношение длины окружности к ее диаметру

Я * 3,141 592 6...

13.2

sin ж

Синус х

„и _ .1*

е — в

Sin X = °-,

sin х = х-х3/3! + х®/5! —....

Для (sin х)п. (сое х)" и т. д. используют обозначения sin" х. cos" х и т. д.

13.3

COS X

Косинус X

cos х = sin(x + я/2)

13.4

tan х

Тангенс х

lan х = sin x/cos x.

По возможности следует избегать использования обозначения tg х

13.5

col X

Котангенс х

cot* = 1/tan х.

По возможности следует избегать использования обозначения clg х

13.6

sec x

Станс х

sec х- 1/cosx

13.7

CSC X

Косеканс х

esc х = 1/sin x.

Обозначение cosec x также может быть использовано

13.8

arcsin x

Арксинус х

у = arcsin х <=» х - sin у, -я/2 £ у £ я/2.

Функция arcsin является обратной к функции sin с упомянутым выше ограничением

13.9

arcoos x

Арккооечус х

у = arcoos х <=> х = cos у. 0 £ у £ к.

Функция arcoos является обратной к функции cos с указанным выше ограничением

13.10

arctan x

Арктангенс х

у = arctan х <=> х = tan у. -я/2 < у < я/2.

Функция arctan является обратной к функции lan с упомянутым выше ограничением.

По возможности следует избегать использования обозначения arctg

13.11

arccot x

Аркотангенс х

у = arccot х <=> х = col у, 0<у<я.

Функция arccot является обратной к функции cot с упомянутым выше ограничением.

По возможности следует избегать использования обозначения arcctg х

13.12

arcsec x

Арксеканс х

у = arcsec х <=> х = sec у. 0 £ у £. к. у * я/2. Функция arcsec является обратной к функции sec с упомянутым выше ограничением

Продолжение таблицы 13.1

Номер знака, символа, вы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

13.13

a re esc х

Арккосеканс х

у = arccsc х «=з х * esc у.

- я/2 £ у £ к/2. у х 0.

Функция arccsc является обратной к функции С9С с упомянутым выше ограничением.

По возможности следует избегать использования обозначения arccosec х

13.14

sinh х

Гиперболический синус х

х --Л

sinh х =-—-,

2

sinh х = х + х3^! ♦ ....

По возможности следует избегать использования обозначения sh х

13.15

cosh х

Гиперболический косинус х

coshx=

cosh2 х = sinh2 х ♦ 1.

По возможности следует избегать использования обозначения ch х

13.16

tanh x

Гиперболический тангенс х

tanh х = sinh x/cosh х.

По возможности следует избегать использования обозначения th х

13.17

ooth x

Гиперболический котангенс х

coth х = 1/tanh х

13.18

sech x

Гиперболический секанс х

sech х = 1/cosh х

13.19

csch x

Гиперболический косеканс х

csch х = 1/sinh x .

По возможности следует избегать использования обозначения cosech х

13 70

arsinh x

Обратный гиперболический лиыуг. X

Гиперболический арксъмус х

у = arsinh x»xs stnhу.

Функция arsinh является обратной к функиии sinh. По возможности следует избегать использования обозначения arsh х

13.21

arcosh x

Обратный гиперболический косинус X.

Гиперболический арккосинус х

у = arcosh х с» х в cosh у. у а 0.

Функция aroosh является обратной к функции cosh с упомянутым выше ограничением.

По возможности следует избегать использования обозначали я arch х

13.22

artanh x

Обратный гиперболический тан-енс х.

Гиперболический арктангенс х

у = artanh х «=> х »tanh у.

Функция artanh является обратной к функции tanh. По возможности следует избегать использования обозначения arth х

13.23

arcoth x

Обратный гиперболический котангенс х.

Гиперболический арккотангенс X

у = arcoth ж <=> х = ooth у. у * 0.

Функция arcoth являет ся обратной к функции coth с упомянутым выше ограничением

13.24

arsech x

Обратный гиперболический секанс х.

Гиперболический эдксеканс х

у = arsech х <=> х - sech у. у г 0.

Функция arsech является обратной к фумадии sech с упомянутым выше ограничением

Номер знака, символа, еы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

13.25

arcsch х

Обратный гиперболический косеканс х.

Гиперболический арккосеканс X

у = arcsch х сэ х = csch у. у 2 0.

Функция arcsch является обратной к функции csch с упомянутым ограничением выше.

По возможности следует избегать использования обозначения arcosech х

14 Комплексные числа

Знаки, символы, выражения для комплексных чисел приведены в таблице 14.1.

Таблица 14.1 — Знаки, символы, выражения для комплексных чисел

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, оыраже ние

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

14.1

i

j

Мнимая единица

i используют а математике и в физике, j используют в электротехнике

14.2

Re z

Действительная часть г

г - х + iy,

где х и у — действительные числа

14.3

Im z

Мнимая часть г

х - Re z. у » lm z. См. 14.2

14.4

И

Модуль Z

12\ = у1хг * у2.

где х « Re z. у » Im z (см. 9.16)

14.5

erg r

Аргумент г

г = /в**.

■ДМ Г — Ш И Ч> — ыу X. —А к «pS А,

например. Re г - г cos q>, lm z - r sin <[>

14.6

z

z*

Число комплексно сопряженное с Z

Обозначение г главным образом используют в математике.

Обозначение z* главным образов! используют в физике и технике

14.7

sgn z

Сигнум Z

sgn z - z/|z| = exp(i arg 2). (z * 0). sgn z - 0 для z - 0 (cm. 9.13)

15 Матрицы

Знаки, символы, выражения для операций с матрицами приведены в таблице 15.1.

Матрицы обычно обозначают жирными курсивными заглавными буквами, а их элементы тонкими кур* сивными строчными буквами, но могут быть также использованы и другие шрифты.

Таблице 15.1 — Знаки, символы, выражения для операций с матрицами

Номер знака.

СИНООЛ9,

оы ражения

Знак, сиыооп. аы раже мне

Значение и устный алоивалент

Примечания, примеры

15.1

А

fan — ©ш

©ом/

Матрица А размера тнап

Матрица А с элементами = (А).>. состоящая из m строк и п столбцов.

Обозначение А = ОД также может быть использовано-.

Вместо круглых скобок могут быть использованы квадратные скобки

15.2

А* В

Сумма матриц А и В

с„ = as, + bt. где (А + В) = ОД.

А=ОД.В=(Ь<).

Матрицы А» В должны иметь одинаковое количество строк и столбцов

15.3

хА

Произведение скаляра ж и матрицы А

cv■ ха*.

где хА = ОД. А =ОД

15.4

АВ

Произведение матриц Айв

IvV

где АВ = ОД. А = ОД. В = ОД.

Количество столбцов матрицы А должно быть равно количеству строк матрицы В

15.5

Е

1

Единичная матрица

Квадратная матрица, для которой ©* = 6* . W Е- ОД (см. 17.9)

15.6

А ’

Инверсия квадратной матрицы А.

Обратная матрица матрицы А

АА‘ = А-'А = Е

15.7

А1

Транспонированная матрица А

т >* = (*>«.

ч - а«> •

где АТ - ОД. А - ОД

15.8

А

А'

Матрица, сопряженная с матрицей А

где А = (с*). А = ОД).

А используется е математике. А' — в физике и электротехнике.

с* — комплексное число сопряженное с а*

15.9

А*

Матрица. Эрмитово-сопряженная с матрицей А

ДН=(А)Т.

Для Ан могут также быть использованы обозначения А‘ и А'

15.10

det А

9ц — в,» ®я1 ©ол

Определитель (детерминант) квадратной матрицы А

15.11

rank А

Ранг матрицы А

Ранг матрицы А равен количеству ее линейно независимых строк или количеству ее линейно независимых столбцов

Номер знака.

СИНООЛ9,

еы ражения

Знак, сны eon. аыраже ние

Значение и устный а коивалеи?

Примечания, примеры

15.12

и А

След квадратной матрицы А

trA = Х,ал.

где А = (вд)

15.13

1ИН

Норма матрицы А

Норма матрицы А представляет собой действительное число, удовлетворяющее следующим условиям:

1)    ||А|| & 0 причем ЦАЦ = 0 только, если А * 0;

2)    ||«А|| * (а| ЦАЦ, где ее*.

3) |И + в||*||А|М|В||.

Могут быть использованы другие нормы матрицы

16 Система координат

Знаки, символы, выражения для систем координат приведены в таблице 16.1.

Таблица 16.1 — Знаки, символы, выражения для систем координат

Номер

знака.

символа.

выражения

Коорди*

И5ТЫ

Вектор положения и его дифференциал

Наименование

координат

Примечание

16.1

х. y.z

г-х9Л + ye, + zez. dr » dx в. + dy er + dz вг

Декартовы координаты

к, у. z — координаты. е,.«г- — базисные векторы. Эти координаты могут быть распространены на л-мерное пространство.

в,, ву. — ортогональная правосторонняя система координат (см. рисунки 1 — 4}.

Могут быть использованы Оазисные векторы i. j. k

16.2

р.ф.*

г - p et> + zo,r. dr = dp e, + p d<peu + dгег

Цилиндрические координаты

©,,{<?). е,(ф). е, — ортогональная правосторонняя система координат (см. рис. 2).

Если z = О. то р и <р — полярные координаты

16.3

Г. 6. ф

r= re,.

dr = dr e, + r drt e„ + r sinft d«p

Сферические

координаты

еДй. ф). ео(0. ф). еДф) — ортогонатк-ная правосторонняя сферическая система координат (см. рисунок 3)

Примечание — В некоторых случаях вместо правосторонней системы координат (см. рисунок 4) используют левостороннюю систему координат (см. рисунок 5). Каждый раз это должно быть четко установлено для исключения возможных ошибок.

Рисунок 1 — Декартова система координат (правосторонняя


Рисунок 2 — Цилиндрическая система координат (правосторонняя)


Рисунок 3 — Сферическая система координат (правосторонняя)


Ось х направлена на зрителя

Рисунок 4 — Правосторонняя система координат


Рисунок 5 — Левосторонняя система координат


17 Скаляры, векторы и тензоры

Скаляры, векторы и тензоры — математические объекты, используемые для обозначения некоторых физических величин и их значений. Они не зависят от выбора системы координат, однако каждый компонент вектора или тензора зависит от этого выбора.

Важно различать компоненты вектора а и базисные векторы, т. е. величины s,, af и аг и проекции вектора на оси координат здед, а,е, и агег. Компоненты вектора часто называют его координатами.

Декартовы компоненты положения вектора определяют декартовы координаты точек начала и конца данного вектора.

Вместо того чтобы рассматривать каждую координату вектора как значение физической величины (т. е. числовое значение, умноженное на единицу измерений), вектор может быть записан как вектор числовых значений, умноженный на единицу измерений (схаляр). Все единицы измерений являются скалярами.

Пример —

F * (3 Н, -2 Н. 5 Н) = (3, -2. 5) Н (в декартовых координатах),

где F— сила;

3 Н — первый компонент, т. в. F, вектор силы F с числовым значением 3 и единицей измерений Н (другие компоненты: -2Н и 5Н) соответственно:

(3, -2, S) — вектор числовых значении;

Н— единица измерения силы.

То же относится к тензорам второго и более высокого порядка.

В данном разделе рассмотрены только декартовы прямоугольные координаты. Более общие случаи, требующие более сложных представлений, в настоящем стандарте не рассмотрены. Декартовы координаты обозначают х. у. z или х,. х2. х3. В последнем случае используют индексы /./. k, I, каждый со значениями от 1 до 3. и следующее соглашение суммирования: если такой индекс появляется неоднократно и суммирование ло диапазону этого индекса понятно, то индекс под знаком I может быть опущен.

Скаляр является тензором нулевого порядка, а вектор — тензором первого порядка.

Компоненты векторов и тензоров часто обозначают одинаковыми символами с соответствующими векторами и тензорами, например, используют обозначение а, для компонент вектора а, Т4 — для компонент тензора второго порядка Г и а(£>; — для компонент векторного произведения а х Ь.

Знаки, символы, выражения для систем скаляров, векторов и тензоров приведены в таблице 17.1.

Таблица 17.1 — Знаки, символы, выражения для систем скаляров, векторов и тензоров

Номер знака, символа, вы ражения

Знак, сны гол. выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

17.1

а

ё

Вектор а

Для обозначения вектора может быть использована стрелка над буквенным символом

17.2

а*Ь

Сумме векторов а и Ь

<а+Ь), = е, + Ь,

17.3

ха

Произведение скаляра или координаты х и вектора а

(ха), = хэ;

17.4

М

а

Модуль вектора а. Норма вектора а

|а| = Ja2 + а£ + aj.

Обозначение ||а|| также может быть использовано.

См. 9.16

17.5

0

0

Нулевой вектор

Модуль нулевого вектора равен 0

17.6

®л

Единичный вектор направления а

еа = а>'|а| . а к 0. а = JaJe,

17.7

в,. е,, вг •ь е2. вз

Единичные базисные векторы.

Базисные векторы декартовой системы координат

Обозначения /. j, к также могут быть испогьзо-ваны

17.8

ая. ау, а, а,

Декартовы координаты вектора а.

Декартовы компоненты вектора а

« = адед + аув, + *А-

а,в„, ар,. арг — проекции векторе а на оси координат (х. у, z) или составляющие векторы.

Если из контекста понятно, какие векторы являются базисными векторами, вектор может быть записан в виде:

а = (а,. аг а,),

а, = ав* Эу = а®,- ®з = ®е,-

г = ха, + уву + — вектор-радиус точки с координатами X. у. Z

17.9

S*

Символ дельты Кронекера

1 для Ык * ~ 0 для i*k

17.10

Символ Лееи-Чивиты

е123 ®е312 = 1-е132 =f321 213 = -1 ■

Все другие е^ равны 0

17.11

а ■ Ь

Скалярное произведение векторов а и Ь

а • Ь = а А ayby * аА

а- Ь = ХаА-

а • а = а* = |а(2 = а2.

Могут быть использованы также обозначения {а. Ь) и (а. Ь)

Продолжение таблицы 17.1

Номер знака, символа, вы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

17.12

эх Ь

Векторное произведение векторов а и Ь

Координаты векторного произведения в правосторонней декартовой системе координат имеют вид:

(а х Ь), = арг - ару,

(а х Ь)у - а/р1 - ар,.

{а х Ь)г = ару - арг

(а х Ь)= £ £«#*аА {см. 17.10).

1 *

Пример — (ах b)c = det А. где а ■ (а,, а, а,);

* = ьг.ь,у. с = (сх. сг с^>:

[в* ау «Л

А= 6, Ьу Ьг .

U ст J

Могут быть использованы также обозначения {а.Ь)и |d.bj

17.13

V

V

Оператор нзбга

У = Уе,-^-* ах у * дг ~ ' дх,

Оператор набла также называют «оператором Гамильтона»

17.14

Уф

grad q>

Градиент ф

1 1

Следует избегать записи оператора grad тонкими линиями

17.15

У а

div а

Дивергенция а

у-a = y#L

7 дх>

17.16

Уха rot а

Ротор векторного поля а

Координаты Уха имеют вид: да, &av

. да, да,

(Vx4 = &T--gГ*

, day да.

Могут быть использованы также обозначения curl и rot.

1У * (см. 17.10)

17.17

V2

Оператор Лапласе, лапласиан

У2=4-+4- + 4-

дх2 ду2 дг2

17.18

Оператор Д'Аламбера

„ д2 + а2 . а2 1 д2

D = дх2 ду2 дг2 е2 д*2

Номер знака.

СИНООЛ9.

аы ражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный » квивалент

Примечания, примеры

17.19

Т

г

Тензор Г второго порядка

Вместо обозначения с использованием жирного шрифта может быть использовано обозначение с двумя стрелками

17.20

Т»х« .....т„

Г«. Г„.....Тзз

Декартовы компоненты тензора Т

Г = Гд,е,е, -*Теяеу ■+ ... +Ти*&. где Гдде,......Тгга1аг —составляющие тензоры тензора Г.

Если из контекста ясно, какие использованы базисные векторы, тензор может быть записан в следующем виде:

Г»* у "^xi Т~ ТУ* ТУУ ТУ*

17.21

ab

а®&

Тензорное произведение двух векторов а и Ь

Результирующий тензор второго порядка имеет координаты:

{ab)t = afif

17.22

T®S

Произведение двух тензоров второго порядка Г и S

Произведение представляет собой тензор четвертого порядка с координатами:

<res)*, = r,sA,

17.23

TS

Внутреннее произведение двух тензоров второго порядка Ги S

Произведение представляет ообой тензор второго порядка с координатами:

<T-S)*= IV*

/

17.24

Та

Внутреннее произведение тензора второго порядка Т и векторе а

Произведение представляет собой вектор с координатами:

(Г- а), * IТЛа, i

17.25

Т: S

Скалярное произведение двух тензоров второго порядка Ги S

Произведение представляет собой скалярную величину:

Г: S = ХХ7^*

' ^

18 Преобразования

Знаки, символы, выражения для преобразований приведены в таблице 18.1.

Таблица 18.1 — Знаки, символы, выражения для преобразований

Номер знака, символа, вы ражения

Знак, сиыаоп. выражение

Значение и устный элоиеалемт

Примечания, примеры

18.1

Преобразование Фурье функции f

«•

<?/)(«)= Je /tr)df. (ше R).

Это преобразование часто обозначают ?{«). Обозначение

<?/)(»)-/в-*- mat V2* —

также может быть использовано

18.2

tt

Преобразование Лапласа функции /

(iO(s)= {eg с).

0

Часто используют обозначение £(s).

Также используют двустороннее преобразование Лапласа, определяемое гой же формулой, но с минус бесконечностью вместо нуля

18.3

Z преобразование (э„)

3(в„)= £ая*“в- (хб С).

п» 0

— оператор, формирующий не функцию, а последовательность.

Используют также двустороннее Z преобразование. определяемое той же формулой, но с минус бесконечностью вместо нуля

18.4

Н(х)

Ф)

Функция Хевисайда. Единичная ступенчатая функция

11 для хаО

"<Нодлях<0-

Обозначение U(x) также может быть использовано.

П(() используют для обозначения времени. Пример —

<Ш Xs) = 1/s (Re s > 0)

18.5

ад

Дельта — распределение Дирака.

Дельта — функция Дирака

J<T(<)8(<-x)df = а(х).

Н'= 5.

Также используют наименование «единичный импульс».

Пример —

LS = 1 (см. 18.6 и МЭК 60027-6:2006. п. 2.01)

18.6

Гд

Свертка /ид

(ГдХх)= ]fM9ix-y)<ly

19 Специальные функции

8 данном разделе использованы следующие обозначения: а. Ь, с, г, №. v—комплексные числа; х—действительное число; к. Am, л — натуральные числа.

Знаки, символы, выражения для специальных функций приведены в таблице 19.1.

Таблица 19.1 — Знаки, символы, выражения для специальных функций

Комер май, с инвопа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный э коивалент

Примечания, примеры

19.1

У

с

Постоянная Эйлера

■(= | J ” 1пл J = 0.577 215 6 ...

19.2

Г(*>

Гамма-функция

Г(г) — изоморфная функция с полюсами в точках 0.-1. -2.-3.....

Г(2)= (Rez>0).

0

П(л + 1) = о! (гк N)

19.3

ад

Дзэта-функция Риманна

£<z> — изоморфная функция с полюсом в точке г» 1.

?<r>- Е i (Rez>1)

П-1 п

19.4

B(Z. W)

Бета-функция

1

B(z.w)= / zл ~1 (1 -0

(Re z > 0. Re w > 0).

B(z, w) - r(z)T(tvyr(z+w),

(o + 1)B(fc + 1. П-Л+-1) (*)

19.5

Eix

Экспоненциальный интеграл

Ei x =

Для ^ cm. 11.20

19.6

lix

Логарифмический интеграл

g

(0 < x < 1).

X

0

Для ^ cm. 11.20

19.7

Sir

Интегральный синус

Slz= J^-dr.

0

six = --2-+ Si z.

si r — синусный интеграл смешения

19.8

S(z)

C(Z)

Интеграл Френеля

г

S(2>= Jsin(|.t2Jdf. 0

C(Z> = ]сои.(-2-Гг)о/ 0

Продолжение таблицы 19.1

Номер знай, с имвола, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный э коиоалент

Примечания, примеры

19.9

erf х

Функция ошибки

erf х = J® ' dr'

Функцию erfc х » (1 - erf х) называют дополнительной функцией ошибок.

В статистике испотъэуют функцию распределения

Ф(х)=

у2я 0

19.10

F(p. ft)

Неполный эллиптический интеграл первого рода

F«M) = l » * ■ о ^1 - ft2sin2a

K(ft) = F(x/2, ft) — эллиптический интеграл первого рода (здесь 0 < ft < 1. ft € R)

19.11

Е(*. ft)

Неполный эллиптический интеграл второго рода

е(«м)= lV1-'(2sif'2CTAi-0

E(ft) = E(sf2, ft) — полный эллиптический интеграл второго рода (здесь 0 < ft < 1, ft € R)

19.12

П(п. «р. ft)

Неполный эллиптический интеграл третьего рода

г йй

П(л. ft) = П(л. п/2. ft) — полный эллиптический интеграл третьего рода (здесь 0 < ft < 1. л. ft е R)

19.13

F(a. b: с. г)

Гипергеометрическая функция

f (вМ*>л*“

F(a, 6; с; z) - 4* (с )n n! (-с в N).

Для {в)ь. {Ь\, и (с)„ см. 10.3.

F(a. 6; с; г) является решением уравнения г(1 - z)/* ♦ (с - (а + Ь ♦ 1)г) у - aby - 0

19.14

F(a; с; г)

Вырожденная гипергеометрическая функция

т- (е)п „п

F(a4c;z)= ^о(С)пЛ!г (-с е Н).

Для (а)„ и(с)„ См. 10.3.

F(a, б; с; г) является решением уравнения zy" *{с-г)у'-ау-0

19.15

P*U)

Полином Лежандра

р^)= 2nn!dzntZ _1) <neN)-РДг) является решением уравнения (1 - z2).у*- 2zy' * л(л + 1)у = 0

19.16

Р"(2)

Присоединенная функция Лежандра

Р?(г)=(-1Г(1-г2Г'2^гРл(г)

QZ

(щ п € N. т&п).

Р% (г) является решением уравнения

(1 -z2)y'-Zzy'* (л(«+1)-^!р-|у»0-

Коэффициент (-1 f соответствует общей теории сферических функций

Комер >иам.

с иивола, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный э коивалент

Примечания, примеры

19.17

уГ(о.ф)

Сферическая гармоника

(/, И e H.\m\iiy Y*(0. <р) является решением уравнения

1 1 а!у*«/+1>у-о s*n д да [ д(\) sin2 А Ар2

19.18

нл(г)

Полиномы Эрмига

Hn<z)=(-1)raei!^re-'3.

Полиномы Эрмига являются решением уравнения

у" — 2zy' + 2лу = 0 (neN)

19.19

Ln(z>

Полиномы Яагерра

иг)=в*-^г(гпв^) (n«N>.

1„(г) являются решением уравнения zy" + (1 -z)y' + пу - 0

19.20

L? (г)

Обобщенные полиномы Ла-герра

L"<z> = ^rLn (*) {т е N. m s л).

L”(z) являются решением уравнения zy" + (m + 1 - z)/ + (п- т)у = 0

19.21

T„(z>

Полиномы Чебышева первого рода

T„{z) = cos(n агсcos г) (л е N). Тл(2)) являются решением уравнения (1 - 2?)у" - zy * г?у = 0

19 77

П„М

Полиномы Чебышева второго родя

sin l(n + i)arccoszl

°«W- sin (arccoez) (ЛбМ)-U„(j) является решением уравнения (1 - z*)y" - 3zy' + П<л ♦ 2)y = 0

19.23

•М*)

Функция Бесселя. Цилиндрическая функция первого рода

^ (-1)* (z/2)4'*2*

Jv(z)= £ *!r(v+A+1) (veC).

Jv(z) являются решением уравнения zJy" + г/ ♦ (2s - v*)y = 0

19.24

М,(г)

Функция Неймана. Цилиндрическая функция второго рода

.... Jv(Z>COS{VJl)-J.v(z) . _ «.(*)= 8Ш(«0 <veC>-Правую сторону этого уравнения заменяют его предельным значением, если ve Z

Обозначение Y,(z) также может быть использовано

19.25

Функции Ганкеля. Цилиндрические функции третьего рода

rfvMW-Jy(*)+iNv(z>

к;>(г) = Л(2)-1Ну(г) (ve С)

Окончание таблицы J9.1

Комер мам. с имволз. выражения

Змак. символ, выражение

Значение и устный э кеивалент

Примечания, примеры

19.26

м*>

К,(г)

Модифицированные функции Бесселя

/ Ч -1»<л .1*

Jv(z) = в 2 Jy e* z ,

\ /

Mz) =

Jv(r) и Ку(2) являются решением уравнения z2y"+z/-(zs + v3)y = 0

19.27

ь W

Сферические функции Бесселя

j, (z) являются решением уравнения zsy- + 2z/+(z2-/(/+ 1)] у = 0

19.28

П, (г)

Сферические функции Неймана

i

пЛШя (/eN)'

Обозначение y,(z) также может быть использовано

19.29

n'J'W

Сферические функции Ганке л я

1

(z) = j, (Z> + in,(z> = (JL)a ^(2).

h^<z> = j ,(z) - in,(z) = (JL.)2 h'«U).

Модифицированные сферические функции Бесселя (аналогично 19.26) могут быть определены и обозначены i/(z) и k/(z) соответственно

19.30

АКг) Bi(z)

Эйри функции

Ai(z) = - U(*)j.

Bi(z) = jl + М(")]. где w = |z32.

Ai(г) и Bi(z) являются решениями уравнения у" - zy * 0

Приложение А (обязательное)

Шестнадцатеричные коды символов

В данном приложении приведена информация о шестнадцатеричных кодах символов и знаков, приведенных в настоящем стандарте.

Ниже приведена таблица А.1. состоящая из четырех колонок.

В подвой колонке указан пункт настоящего- стандарта, в котором использован рассматриваемый знак или символ.

Во второй колонке приведен рассматриваемый символ в том виде, как он использован в настоящем стандарте.

В третьей колонке приведен шестнадцатеричный код символа е соответствии с ИСО/МЭК 10646 [2].

Таблица А.1

Номер пункта настоящею стандарта

Символ

Шестнадцатеричный код символа <см. ИСО/МЭК 106461

Номер пункта нестоящего стандарта

Символ

Шестнадцатеричный ход символа (си. ИСО/МЭК 10646)

4.1

Л

2227

7.3

def

225D

42

V

2228

7.4

Л

2259

4.3

ООАС

7.5

19

2248

4.4

21D2

7.6

йл

2243

4.5

е»

21D4

7.7

-

223С

4.6

V

2200

7.7

221D

4.7

3

2203

7.8

=

2245

5.1

е

2208

7.9

<

00 ЗС

5.2

2209

7.10

>

003Е

5.4

I

007С

7.11

£

2264

5.5

I

007С

7.12

2

2265

5.6

0

2205

7.13

«

226А

5.7

С

2286

7.14

»

226В

5.8

с

2292

7.19

99

22IE

5.9

и

222А

7.18

-*

2192

5.10

п

2229

7.17

1

2223

5.11

и

22СЗ

7.18

S

2261

5.12

п

22С2

7.19

<

27Е6

5.13

2216

7.19

>

27Е9

5.13

с

2201

8.1

II

2225

5.16

X

D0D7

8.2

1

27С2

5.17

п

220F

8.3

2222

6.1

N

2115

9.1

+

002В

6.2

Z

2124

9.2

-

2212

6.3

о

211А

9.3

1

00В1

6.4

R

211D

9.4

Т

2213

6.5

С

2102

9.5

22С5

6.6

р

2119

9.5

X

00D7

7.1

S

003D

9.6

/

002F

7.2

*

2260

9.7

т

2211

7.3

1 S

2254

9.8

П

220F

Окончание таблицы А. 1

Номер пункта настоящею стандарт»

Символ

Шестнадцатеричный код симаола <см ИСО/ЫЭК 10646)

Номер пункта настоящего стандарта

Символ

Шестнадцатеричный ■ од символа (см. ИСОЛНЭК 10646)

9.10

V

221А

11.18

/

222В

9.12

<

27Е8

11.19

а

222С

9.12

)

27Е9

11.19

f

222Е

9.16

I

007С

11.19

о

222F

9.17

1

230А

11.20

2A0D

9.17

J

230В

17.11

22С5

9.16

г

2306

17.12

X

00D7

9.18

1

2309

17.13

V

2207

11.3

2192

17.17

д

2206

11.4

21А6

17.18

25А1

11.7

2216

17.21

2297

11.11

Л

2206

18.1

2131

11.12

2032

18.2

t

2112

11.15

д

2202

18.3

3

2128

11.16

6

■0064

18.6

4

2217

11.17

&

ОЗВ4

Библиография

ISO 60000-2:2009 Quantities and units. Pad 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology

ISO/IEC 10646:2003 Information technology — Universal Multiple-Octet Coded Character Sel (UCS)1* f> Заменен на ISO/IEC 10646:2011 Information technology — Universal Coded Character Set (UCS).

УДК 658.562.012.7:65.012.122:006.352    ОКС03.120.30    Т59

Ключевые слова: математические символы и знаки, математическая логика, множества, стандартные множества чисел, интервалы, элементарная геометрия, операции, комбинаторика, функции, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические и шперболические функции, комплексные числа, матрицы, система координат, скаляры, векторы, тензоры, преобразования, специальные функции

Редактор А. Д. Ступо&а Технический редактор S. Н. Прусакова Корректор Н. И. Гавршцук Компьютерная верстка А. П. Финогеновой

Сдано о набор 07.06.2012. Подписано а печать 13.12.2012. Формат 60 x 84Бумага офсетная Гарнитура Ариап. Печать офсетная. Уел. печ. л. 4,18. Уч.-иад. л. 3.70. Тираж 126 »и. За* 1S32.

ФГУП «СТАНДАРТИНФОРМ». 123995 Москва. Гранатный лер.. 4. www-eoslinfo го    

Набрано и отпечатано в Калужской типографии стандартов, 248021 Калуга, ул. Московская. 2S6.