allgosts.ru03. УСЛУГИ. ОРГАНИЗАЦИЯ ФИРМ, УПРАВЛЕНИЕ И КАЧЕСТВО. АДМИНИСТРАЦИЯ. ТРАНСПОРТ. СОЦИОЛОГИЯ.03.120. Качество

ГОСТ Р 50779.27-2007 Статистические методы. Критерий согласия и доверительные интервалы для распределения Вейбулла

Обозначение:
ГОСТ Р 50779.27-2007
Наименование:
Статистические методы. Критерий согласия и доверительные интервалы для распределения Вейбулла
Статус:
Заменен
Дата введения:
06/01/2008
Дата отмены:
Заменен на:
Код ОКС:
03.120.30

Текст ГОСТ Р 50779.27-2007 Статистические методы. Критерий согласия и доверительные интервалы для распределения Вейбулла

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ

СТАНДАРТ

РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

ГОСТР

50779.27-

2007

(МЭК 61649:1997)

Статистические методы

КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

IEC 61649:1997

Goodness-of-fit tests, confidence intervals and lower confidence limits for Weibull

distributed data (MOD)

Издание официальное

S

1

€|Ш№Ц1ЧИ1+11|Ш

am

ГОСТ Р 50779.27—2007

Предисловие

Цели и принципы стандартизации е Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. Ns 164-ФЗ «О техническом регулировании», а правила применения национальных стандартов Российской Федерации — ГОСТ Р 1.0—2004 «Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения»

Сведения о стандарте

1 ПОДГОТОВЛЕН Открытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (ОАО «НИЦ КД») и Техническим комитетом по стандартизации ТК125 «Статистические методы в управлении качеством продукции» на основе собственного аутентичного перевода стандарта, указанного в пункте 4

2 ВНЕСЕН Управлением развития. информационногообеспеченияиаккредитацииФвдерального агентства по техническому регулированию и метрологии

3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства ло техническому регулированию и метрологии от 14 ноября 2007 г. № 303>ст

4 Настоящий стандарт является модифицированным поотношению к международному стандарту МЭК 61649:1997 «Критерии согласия, доверительные интервалы и нижние доверительные границы для распределения Вейбулла» (IEC 61649:1997 «Goodness-of-fit tests, confidence intervals and lower confidence limits for Weibull distributed data») путем внесения технических отклонений, объяснение которых приведено во введении к настоящему стандарту.

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного между* народного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5—2004 (подраздел 3.5)

5 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». а текст изменений и поправок — е ежемесячно издаваемых информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет

© Стандартинформ, 2006

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

ГОСТ Р 50779.27—2007

Содержание

1 Область применения............................................1

2 Нормативные ссылки............................................1

3 Термины, определения и условные обозначения............................2

4 Требования.................................................2

5 Предположения и условия.........................................2

6 Ограничения и точность..........................................3

7 Входные и выходные данные.......................................3

8 Методы...................................................3

Приложение А (справочное) Таблицы....................................7

Приложение В (справочное) Пример....................................8

Приложение С (справочное) Теоретическое обоснование.........................9

Библиография................................................11

in

ГОСТ Р 50779.27—2007

Введение

Наработки до отказа меаосстанаеливаемых объектов, для которых интенсивность отказов во времени монотонно возрастает или убывает, обычно подчиняются распределению Вейбулла. Причинами такого поведения интенсивности отказов обычно является наличие в исследуемом объекте процессов износа или ранних отказов, вызванных недостатками конструкции или процессов производства. Настоящий стандарт применим также и к другим случайным величинам, подчиняющимся распределению бей-булла.

В настоящем стандарте приведен один критерий согласия, однако, для распределения Вейбулла допускается применять и другие критерии согласия. При выборе критерия разработчик должен учитывать объем выборки и другие особенности задачи. В настоящем стандарте проблема выбора критерия согласия не рассматривается.

Приведенные в настоящем стандарте методы определения доверительных интервалов ориентированы на ограниченный набор значений доверительной вероятности. При необходимости использовать другие значения доверительной вероятности для определения квантилей {нормированного нормального распределения, {-распределения Стьюдента. F-распределения) рекомендуется применять соответствующие таблицы (например см. [11]).

Вотличиеот применяемого международногостандартавнастоящий стандартно включены ссылки на МЭК60050*191:1990 «Международный электротехнический словарь. Глава 191. Надежность и качество услуг». который нецелесообразно применять в национальном стандарте из-за отсутствия принятого гармонизированного национальногостандарта. В соответствии сэтим изменено содержание раздела 3. Ссылки на национальные стандарты выделены в тексте курсивом.

IV

ГОСТ Р 50779.27—2007 (МЭК 61649:1997)

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

Statistical metftods. Goodness-of-fit tests and confidence intervals for Welbuil distributed data

Дата введения — 2008—06—01

1 Область применения

Настоящий стандарт устанавливает расчетные и графические методы проверки соответствия наработок до отказа распределению Вейбулла. методы определения оценок максимального правдоподобия. а также приближенные методы определения границ доверительных интервалов для параметров деухлараметричесхого распределения Вейбулла. Кроме того, стандарт устанавливает метод определения нижних доверительных границ для вероятности безотказной работы и 10 %-ных квантилей распределения.

Настоящий стандарт применим в тех случаях, когда объекты случайной выборки подвергаются испытаниям для оценки показателей надежности совокупности, из которой отобрана эта выборка. При этом в процессе испытаний фиксируют наработки до отказа.

2 Нормативные ссылки

8 настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р 50779.10—2000 (ИСО 3534-1:1993) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения (ИСО 3534-1:2006 «Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Обшив статистические термины и термины, используемые в вероятностных задачах». ЮТ)

ГОСТ Р 50779.21—2004 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение (ИСО 2854:1976 «Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних и дисперсиях». NEQ)

ГОСТ Р 50779.26—2007 (МЭК 60605-4:2001) Статистические методы. Точечные оценки, доверительные, предикционныв и толерантные интервалы для экспоненциального распределения (МЭК 60605-4:2001 «Испытания оборудования на надежность. Часть 4. Статистические процедуры для экспоненциального распределения. Точечные оценки, доверительные, предикционныв и толерантные интервалы». MOD)

ГОСТ Р МЭК 60605-6—2007 Надежность в технике. Критерии проверки постоянства интенсивности отказов или параметра потока отказов (МЭК 60605-6:1997 «Испытания оборудования на надежность. Часть 6. Критерии проверки постоянства интенсивности отказов или параметра потока отказов». ЮТ)

Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов а информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии а сети Интернет или по ежегодно издаваемому информационному указателю «Национальные стандарты», который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим ежемесячно издаваемым информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный стандарт заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартам, следует руководствоваться заменяющим (измененным) стандартом. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.

Издание официальное

1

ГОСТ Р 50779.27—2007

3 Термины, определения и условные обозначения

3.1

3.2 п

г

h

Т

Y

Я

Ъ

к

В

ю

В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10.

В настоящем стандарте применены следующие условные обозначения:

— общее количество испытуемых объектов (объем выборки);

— количество отказавших объектов (цензурирующее количество отказов), (г < а);

— наработка до /-го отказа;

— время прекращения испытаний;

— уровень значимости: (1 - у) — уровень доверия, для которого определяют границы доверительных интервалов. Обе величины могут быть выражены в процентах;

— отношение г/л;

— параметр масштаба распределения Вейбулла:

— параметр формы распределения Вейбулла;

— вероятность безотказной работы для распределения вейбулла: ехр[-(Ш>)к]: Ь>0. к >0;

— среднее время, за которое откажет 10 % объектов совокупности (10 %-ный квантиль распределения);

— статистика критерия согласия;

— квантиль уровня р ^-распределения с v степенями свободы;

цр — квантиль уровня р нормированного нормального распределения;

Fp (v,. v2) — квантиль уровня р распределения Фишера с v, и v2 степенями свободы; fp(v) — квантиль Г-распределения Стьюдента с v степенями свободы уровня р.

4 Требования

Критерий согласия* > используют в тех случаях, когда необходимо установить соответствие данных распределению Вейбулла. Критерий согласия может быть выполнен на основе предыдущего опыта или технических заключений. В этом случае оценки параметров, доверительные интервалы и нижние доверительные границы показателей надежности могут быть получены без предварительного выполнения критерия согласия.

Приведенные в настоящем стандарте статистические методы, используемые в критерии согласия при определении доверительных интервалов для параметров распределения Вейбулла и нижних доверительных границ показателей надежности, применимы, если в процессе испытаний зафиксировано не менее 10 отказов.

Если в процессе испытаний зафиксировано менее 10 наработок до отказа, то необходимо использовать графический метод по ГОСТ Р МЭК 60605-6. Он позволяет визуально обнаружить отклонение данных от распределения Вейбулла.

5 Предположения и условия

Выборка из п невосстанавливасмыхобъектое. взятых из одной и той же генеральной совокупности, поставлена на испытания в заданный момент времени t - 0. Условия испытаний должны быть одинаковыми для всехобъектов, подвергаемых испытаниям. Отказавшие объекты не заменяют. Испытания прекращают в момент времени Т. При окончании испытаний имеется г отказавших объектов. Значение Г больше или равно Г,. Наработка до отказа каждого отказавшего объекта должна быть известна. Таким образом, имеется г наработок до отказа: Г,, t2.....tr причем 0 < Т; i - 1. 2.....г.

Примечание — Статистические процедуры настоящего стандарта предполагают использование вычислительных средств. Хотя большая честь вычислений может быть выполнена на программируемом калькуляторе, рекомендуется использовать компьютер.

11 Критерий согласия — статистический критерий проверки гипотезы о соответствии данных теоретическому распределению.

2

ГОСТ Р 50779.27—2007

6 Ограничения и точность

Приведенные в настоящем стандарте методы используют, если в процессе испытаний зафиксировано не менее 10 отказов. Методы определения доверительных интервалов являются приближенными. Анализ точности этих методов приведен в приложении С. Ситуация многократно цензурированных выборок в настоящем стандарте не рассмотрена.

7 Входные и выходные данные

8 качестве исходных данных приведенные методы используют наработки до отказа невосстанав-ливаемых объектов, которые подвергнуты испытаниям. Эти наработки доотказа должны быть известны точно, а не в виде интервала значений. Испытания могут быть завершены до того, как отказали все объекты (однократное цензурирование). Все объекты должны быть е работоспособном состоянии в начале испытаний. Испытания должны быть прекращены для всех работоспособных объектов одновременно.

входные данные:

• количество испытуемых объектов (объем выборки) л;

• наработки до отказа всех отказавших объектов, расположенные в порядке возрастания (неубывания)— Г,. t2.....t, \

- заданный уровень значимости г или заданный уровень доверия (1 - у).

выходные данные:

. решение, принятое на основании критерия согласия (принятъ/отклонить);

• точечные оценки и доверительные интервалы параметров масштаба и формы — к и б;

• точечная оценка средней наработки до отказа;

• нижняя доверительная граница среднего времени, за которое откажет 10 %совокупности объектов 810;

• нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы R[t).

8 Методы

8.1 Критерий согласия

Шаг 1. Располагают г наработок до отказа в порядке возрастания (неубывания) и вычисляют натуральные логарифмы этих наработок 1n(f,) - х,, ln(f2) = х2.....In(f,) = х,.

Примечание — х( s х2 S ... sxr

Шаг2. вычисляют/, для 1 й/й(г- 1):

X

In

4{п - / - 1) » 4л г 1

4(/>-0*3]1 ' 4п + 1 I

Шаг 3. На основе значений, полученных на шаге 2, вычисляют Н:

Н-

I

I,

L(r-1)/2J

f-i

h

L(r/2j

Символ LxJ использован для обозначения наибольшего целого числа, не превосходящего х.

Шаг 4. Если Н zFy[2 Цг-1 )/2j, 21 г (2\), гипотезу о том. что данные соответствуют распределению Вейбулла при уровне значимости у Ю0 %. отклоняют и завершают анализ.

8 противном случае нет оснований для отклонения гипотезы о соответствии наработок до отказа распределению Вейбулла. и анализ может быть продолжен.

Значения квантилей F-распределения приведены в ГОСТ Р 50779.21 (таблицы Г.1— Г.9).

Примечание — 8 случае отклонении гипотезы рекомендуется использовать графическое отображение данных для выявления в совокупности аномальных наработок до отказа или других выбросов. Анализ этих ситуаций выходит за рамки настоящего стандарта.

3

ГОСТ Р 50779.27—2007

8.2 Определение оценок

8.2.1 Оценка параметров распределения

8.2.1.1 Точечные оценки к и b

Оценку максимального правдоподобия {MLE1*) для параметров раопредепения Вейбулла получают в результате решения приведенного ниже уравнения. Значение к, которое удовлетворяет первому уравнению, является оценкой максимального правдоподобия к. Ее используют во втором уравнении для получения оценки максимального правдоподобия б.

Примечание — Для решения уравнения можно использовать компьютерную программу.

Шаг 1. Находят значение к. удовлетворяющее следующему уравнению:

f <

I £г/ ln(ff)+ (л - r)7* ln(7>

|/1t__\

! I *.

l 1.1 J

1

- i in<o=o.

Решение этого уравнения — к.

Шаг 2. Вычисляют Ь. используя значение к, полученное на шаге 1:

1

£г*+(п-г)Г* \

I - 1

8.2.1.2 Интервальная оценка параметра к

Шаг 1. Вычисляют константы С. к, и к2. используя отношение $ - г/п:

С =2,14628- 1.361119 q.

2

(I - V/2

[(r-i)q.

где Xp(v)— квантиль уровня р -^-распределения с v степенями свободы.

Поскольку число степеней свободы [(г* 1 )С] может быть не целым числом, для вычисления квантиля ^-распределения, необходимо использовать компьютерную программу или интерполяцию по ГОСТ Р 50779.21 (таблица В.1) или по ГОСТ Р 50779.26 (таблица D.1).

Шаг 2. Вычисляют коэффициенты w, и w2:

1

гм

L/C

I

»‘0

Шаг 3. Вычисляют доверительный интервал для к. соответствующий уровню доверия (1 - у) 100%:

(w,*; w2k].

Примечание — Так как значение к > 1 характерно для износа, а значение к < 1 указывает на наличие ранних отказов, доверительный интервал для Ь допускается использовать для проверки этих предположений. Наоборот. если доверительный интервал для Ь включает значение 0*1. контролируемые объекты могут принадлежать генеральной совокупности с постоянной интенсивностью отказов. Формальный метод проверки лостоянстав интенсивности отказов приведен е ГОСТ Р МЭК 60605-6.

8.2.1.3 Интервальная оценка параметра б

Шаг 1. Вычисляют константы Ал, Аь и Ав. используя отношение q - rin:

Ал = 0.49$ - 0.134 ♦ 0.622$-1;

Д5 = 0.2445 (1.78 - q) (2.25 + $);

= 0.029 -1.083 In (1.325$).

i>

MLE — Maximum Likelihood Estimate.

ГОСТ Р 50779.27—2007

Шаг 2. Выполняют шаг 2а. если испытания завершены до отказа всех объектов, т. е.г< л. Выполняют шаг 2£>. если известны наработки до отказа всех объектов, т. в. г - п.

Шаг 2а. Вычисляют константы А3. d,, d2. А, и А2, если (г < л):

А3 = ~А6 х*.

ГД® * -

и — квантиль уровня р нормированного нормального распределения, определяемый по таблице А.2;

d . *3 ♦ *У**<Л> ~ d - - *У**<*е -А,У*Г

1 г - А5х2 2 г - ^х2

А, = exp(-<ty Л): А2 - exp(-d2/ Л).

Переходят к выполнению шага 3.

Шаг 26. Вычисляют d3. А, и А2, если г - п:

<*з - *(1 '•)■

где Гр{л -1) — квантиль уровня р (-распределения Стьюдента с (л -1) степенями свободы, определяемый по ГОСТ Р 50779.21 (таблица Б.1), (односторонний случай);

А, = ехр

-j.OSSda к^п - 1

Ajsexp

-1.05303

kjn 1

Значение к получено в соответствии с 8.2.2, шаг 1.

Шаг 3. Вычисляют доверительный интервал для Ь. соответствующий уровню доверия (1 - у) 100%:

{А,Р; Ajb].

Значение 6 получено в соответствии с 8.2.1.1. шаг 2.

8.2.2 Средняя наработка до отказа

Вычисляют точечную оценку средней наработки до отказа т:

гй шЬГ(1 + 1/к).

Значения Ли Ь получены в соответствии с 8.2.1.1. шаги 1 и 2. Здесь Г{г)— гамма-функция z [см. ГОСТ Р 50779.10 (подраздел 1.44)]. В таблице А.1 (приложение А) приведены значения Г(1 + 1/Л) как функции к. Для значений к, не указанных в этой таблице, рекомендуется применять интерполяцию.

Примечание — Для случаев, когда нижняя доверительная граница к равна или больше 1 (случай износа). доверительный интервал для Ь можно использовать как грубую оценку доверительного интервала для средней наработки до отказа, т. к. в этом случае гамма-функция всегда находится между 0.88 и 1.

8.2.3 Квантиль (10 %)

8.2.3.1 Точечная оценка

вычисляют в10, точечную оценку В10 (время, за которое откажет 10 % объектов совокупности):

8*0

У*

8.2.3.2 Нижняя доверительная граница

Вычисляют нижнюю доверительную границу В10, соответствующую уровню доверия (1 -у) 100%: Шаг 1. Вычисляют Л, = In [- in (0.9)].

Шаг 2. Вычисляют 6,:

8

- ГЛ| - ж

3 + rAt * 2гЛ,Лв + гА$Л

2

1

г - x2/4j

гдех - иг— квантиль уровня у нормированного нормального распределения. Значения ир определяют по таблице А.2 (приложение А). Значения А4. А5 и А6 вычислены в соответствии с 8.2.1.3, шаг 1.

5

ГОСТ Р 50779.27—2007

Шаг 3. Вычисляют коэффициент О,:

Oi

Шаг 4. Для получения нижней границы, соответствующей уровню доверия (1 - у) 100 %. леремно-жают В10 и О,:

I нижняя Гранима = @1 ®10-

8.2.4 Вероятность безотказной работы за время f (f£ Т)

8.2.4.1 Точечная оценка

Вычисляют точечную оценку вероятности безотказной работы за время t.

РЦ1)=еур[-ф?}.

в.2.4.2 Нижняя доверительная граница

Вычисляют нижнюю доверительную границу R, _ ? I нижняя граница вероятности безотказной работы за время Г. соответствующую уровню доверия (1 - у) 100 %.

Шаг 1. Вычисляют константы С, и А0:

С, = к ЩЬП). А0 = Ал + С(2Л5 - 2 С, А6.

Значения Ал. и вычисляют в соответствии с 8.2.1.3. шаг 1.

Шаг 2. Вычисляют нижнюю доверительную границу вероятности безотказной работы за время t, соответствующую уровню доверия (1 - у) 100 %:

я,.,1

нижняя граница

где X = U.,

квантиль уровня у нормированного нормального распределения. Значения и определяют по таблице А.2 приложения А.

6

Приложение А

(справочное)

ГОСТ Р 50779.27—2007

Таблицы

А.1 Таблица гамма-функции

Таблица А.1 используется при выполнении 8.2.2.

Таблица А.1 — Значения гамма-функции

к

Г(1*1/К)

к

Г(1*Ш)

к

Г(1«1М)

0.20

120

1.50

0.9027

3.60

0.9011

0.25

24

1.55

0.8994

3.70

0.9024

0.30

9.2603

1.60

0.8966

3.80

0.9038

0.35

5.0295

1,65

0.8942

3,90

0.9051

0.40

3.3233

1.70

0.8922

4.00

0.9064

0.45

2.5055

1.75

0.8906

4.10

0.9076

0.50

2.0000

1.80

0.8892

4.20

0.9089

0.55

1.7024

1.85

0.8882

4.30

0.9101

0.50

1.5045

1.90

0.8874

4.40

0.9113

0.65

1.3603

1.95

0.8867

4.50

0.9125

0.70

1.2657

2.00

0.8862

4.60

0.9137

0.75

1.1906

2.10

0.8857

4.70

0.9149

0.80

1.1330

2.20

0.8856

4.80

0.9160

0.85

1.0878

2.30

0.8839

4.90

0.9171

0.90

1.0522

2,40

0.8865

5.00

0.9182

0.95

1.0238

2.50

0.8872

5.20

0.9202

1.00

1.0000

2.60

0.8882

5.40

0.9222

1.05

0.9808

2.70

0.8893

5.60

0.9241

1.10

0.9649

2.80

0.8903

5.80

0.9260

1.15

0.9517

2.90

0.8917

6.00

0.9277

1.20

0.9406

3.00

0.8930

6.20

0.9293

1.25

0.9314

3.10

0.8943

6.40

0.9309

1.30

0.9236

3.20

0.8956

6.60

0.9325

1.3S

0.9169

3.30

0.8970

6.80

0.9340

1.40

0.9114

3.40

0.8984

7.00

0.9354

1.45

0.9067

3.50

0.8997

8.00

0.9417

А.2 Квантили нормированного нормального распределения

В таблице А.2 приведены значения квантилей нормированного нормального распределения ир для заданного значения р.

Таблица А.2 — Квантили нормированного нормального распределения

Р

0.010

0.025

0.050

0.100

“р

2.3263

1.9600

1.6449

1.2816

7

ГОСТ Р 50779.27—2007

Приложение В

(справочное)

Пример

Данный пример приведен для проверки точности компьютерных программ, выполняющих расчеты в соответствии с методами нестоящего стандарта.

На испытания поставлено сорок объектов. Испытания прекращены в момент 20-го отказа. Ниже приведены 20 наработок до отказа:

г.

h

t,

Г»

ti

(a

W

fio

fit

Г.2

fi>

lu

fis

r*

tu

fie

ft*

fee

5

10

17

32

32

33

34

36

54

55

55

58

58

61

64

65

65

66

67

68

Применение расчетных методов настоящего стандарта приводит к следующим результатам.

Применение критерия согласия кэтомунаборуданныхсуровнем значимости 10%неможетотклонитьгипоте-эу о соответствии этих данных распределению Вейбуллв. поскольку Н • 0.36. а Я0 1 (16: 20} ■ 1,61.

Значения оценок максимального правдоподобия для к и Ь:

к ■ 2.091 и Р * 84.

Доверительные интервалы, соответствующие уровню доверия 90 %, — (1.34; 2,742] для к и (70:108) для 6. Оценка максимального правдоподобия для 8,^: 810 » 26.63. Доверительная граница, соответствующая уровню доверия 90 %.для 810: в10|нижня, граиица « 20.43.

Значения оценки максимального правдоподобия и нижней доверительной границы для вероятности безотказной работы, соответствующей уровню доверия 90 %.для трех произвольных значений г.

1

*<0

e

°0 0 Vmnm rfMMwu*

32.46

0.87

0.80

50.00

0.71

0.62

100.00

0.23

0.12

8

ГОСТ Р 50779.27—2007

Приложение С

(справочное)

Теоретическое обоснование

Данное приложение включает информацию относительно происхождение методов, использованных в настоящем стандарте. Список литературы, используемой при разработке методов настоящего стандарта, приведен в библиографии.

С.1 Критерий согласия

В настоящем стандарте приведен критерий, описанный {11. Для вычисления ^ в 8.1 необходимы математические ожидания экстремальных порядковых статистик. Для них использовано приближение, предложенное в [2]. В (3| показано, что критерий имеет мощность, сопоставимую с мощностью критерия Шапиро-Брейна (4) и критерия Тьюки. Последний критерий немного лучше любых критериев, использующих эмпирическую функцию распределения. Кроме того, критерий (1) может использовать цензурированные выборки.

С.2 Оценки максимального правдоподобия для Я и О

Приведенные в настоящем стандарте уравнения обычно используют для единственной цензурированной выборки. В настоящее время это самый распространенный метод оценки параметров распределения Вейбулла. Формулы, представленные в настоящем стандарте, заимствованы из [5]. Так как расчетные методы настоящего стандарта используют только объемы выборокбольше 10. статистическое смещение оценок является небольшим.

С.З Доверительные интервалы и нижние доверительные границы

Приведенный метод заимствован из (6)для полных выборок и из (7| для цензурированных выборок. 8 настоящем стандарте использованы коэффициенты, полученные методами Монте Карло и использованы асимптотические приближения результатов. Некоторые простые линейные и нелинейные функции использованы при составлении таблиц, что позволяет избавиться от вспомогательных таблиц. Отклонения во всех случаях очень малы (» 1 %).

Другой альтернативой являются условные методы (8|. При применении этих методов расчеты являются более сложными.

Чисто асимптотический подход был отклонен, поскольку метод должен давать разумные результаты для относительно небольших выборок.

С.4 Точность стандартизированных методов

Было проведено сравнение методов настоящего стандарта с другими опубликованными методами. Все проанализированные примеры дают одинаковые с методами настоящего стандарта оценки максимального правдоподобия. Некоторые различия получены для доверительных интервалов и нижних доверительных границ (см. С.4.1—С.4.4).

С.4.1 Метод по [7]

Поскольку этот метод является основой метода, приведенного в настоящем стандарте, объектом сравнения является точность используемых в стандарте аппроксимирующих функций. Результаты сравнения следующие:

Метод по (7] Метод по настоящему стандарту

Доверительный интервал для к с уровнем доверия 90 % (1.34: 2.73) (1.34; 2,74)

Доверительный интервал для Ь с уровнем доверия 90 % (70.7:105,9| [70:106]

Яо» (Г >32.46) 0.801 0.800

С.4.2 Метод по |8]

Исследуемая выборка объемом л > 40 включает 28 наработок до отказа. 8 работе (8] приведены только доверительные интервалы для кс уровнем доверия 90 % и нижние доверительные границы с уровнем доверия 95 % для 6ц) и Я(/ > е-1). Результаты сравнения следующие:

Метод по [в|

10.783: 1.381] 0.066 0.647

Метод по настоящему стандарту

[0.785: 1.370]

0.074

0.644

Доверительный интервал для к с уровнем доверия 90 %

Нижняя доверительная граница с уровнем доверия 95 % для В,в Яь.и (<■ 0.368)

9

ГОСТ Р 50779.27—2007

С.4.3 Метод (9|

Это асимптотический метод. В качестве примера рассмотрена выборка из 96 локомотивов, 37 из них отказали. время цензурирования Т немного больше, чем время последнего отказе. Так как объем выборки является довольно большим, асимптотический подход в этом случае дает хорошую точность. Авторы [9] приводят только доверительный интервал для к с уровнем доверия 96 *. и поскольку имеется доверительный интервал для 6,0 с уровнем доверия 95*. мы можем получить нижнюю доверительную границу для этой величины с уровнем доверия 97.5*:

Метод по (9] Метод по нестоящему стандарту

Доверительный интервал для к с уровнем доверия 90 * [1.72: 3.16] [1.61: 3.04)

Нижняя доверительная граница с уровнем доверия 97.5 % длявю 55.4 54.2

С.4.4 Метод по [10]

в работе (10) приведены таблицы, полученные методом Монте-Карло, для определения нижних доверитель-ныхграниц и оценок максимального правдоподобия вероятности безотказной работы лонвбольшим цензурированным выборкам (л & 20). Для сравнения нижних доверительных границ использовались выборки из распределения Вейбулла. полученные с помощью датчика случайных чисел.

Разница между границами, полученными в соответствии с настоящим стандартом и приведенными в [10]. составила не более 1 *.

10

ГОСТ Р 50779.27—2007

Библиография

|1) Mann, N.R.. Scheuer. Е.М. and Ferttg. K.W. (1973). A New Goodness-of-fit lest for the two-parameter Weibull or Extreme Value Distribution. Commun. Stat.. Vol. 2. pp. 383—400

(2) Btom. G. (1958). Statistical Estimates and Transformed Beta-Variables. New York. J. Wiley &Sons

(3) Lawless. J.F. (1982). Statistical Models and Methods for Lifetime Data. New York. J. Wiley & Sons

(4) Shapiro. S.S. and Brain. C.W.. (1967). W-Test for the Weibull Dlstnbution. Commun. Statist. -Simula.. Vol. 16. No. 1. pp. 209—219

(5) Mann. N. R.. Schafer. E. and Singpurwalla.N.(1974). Methods for Statistical Analysis of Reliability and Lifetime Data. New York. J. Witey & Sons

(8) Bain. L.J. and Engelhard!. M. (1981). Simple Approximate Distributional Results for Confidence and Tolerance Limits for the Weibull Distribution Based on Maximum Likelihood Estimators. Technometrics. Vol. 23. No. 1. pp. 15—20

(7) Bain. L.J. and Engelhard!. M. (1986). Approximate Distributional Results Based on the Maximum Likelihood Estimators for the Weibull Distribution. Journal of Quality Technology. Vol. 16. No. 3. pp. 174—181

(8) Lawless. J.F. (1976). Confidence interval Estimation for the Weibull and Extreme Value Distributions. Technometrics. Vol. 20. No. 4. pp. 355—368

(9) Meeker. W.Q. and Nelson. W.. (1976). Weibull Percentile Estimates and Confidence Limits from Singly Censored Data by Maximum Likelihood. IEEE Trans, on Reliability, Vol. R-2S. No. 1. pp. 20—24

(10| Guide. M.. (1985). On the Confidence Limits for Weibull Reliability and Quantiles; The Case of Maximum Likelihood Estimation from Small Size Censored Samples. Reliability Engineering. Vol. 12. pp. 217—240

(11] Большее Л.Н., Смирное H.B. Таблицы математической статистики. — М.: Наука. 1983

11

ГОСТ Р 50779.27—2007

УДК 658.562.012.7:65.012.122:006.354 ОКС 03.120.30 Т59

Ключевые слова: критерий согласия, доверительный интервал, распределение Вейбулла. средняя наработка до отказа, вероятность безотказной работы, уровень доверия, нввосстанавливавмый объект, цензурированная выборка

Редактор Я.в. Корвтникова Технический редактор В.Н. Прусакова Корректор в.И. Воронцова Компьютерная верстка Л. А. Круговой

Сдано в набор 26.11.2007. Подписано а печать 26.12.2007. Формат 60 > 84^. Бумага офсетная. Гарнитура Ариал. Печать офсетная Уел. печ. п. 1.86 Уч.-иад. л. 1.20. Тираж 259 эм. Зак. 906.

ФГУП «СТАНДАРТИНФОРМ*. 123995 Москва. Гранатный пер . 4. info@goslmlo ги Набрано во на ПЭВМ.

Отпечатано а филиале ФГУП «СТАНДАРТИНФОРМ* — тип. • Московский печатник». 105062 Москва. Лялин пер.. 6.