База ГОСТовallgosts.ru » 03. УСЛУГИ. ОРГАНИЗАЦИЯ ФИРМ, УПРАВЛЕНИЕ И КАЧЕСТВО. АДМИНИСТРАЦИЯ. ТРАНСПОРТ. СОЦИОЛОГИЯ. » 03.120. Качество

ГОСТ Р 50779.28-2017 Статистические методы. Степенная модель. Критерии согласия и методы оценки

Обозначение: ГОСТ Р 50779.28-2017
Наименование: Статистические методы. Степенная модель. Критерии согласия и методы оценки
Статус: Принят

Дата введения: 12/01/2018
Дата отмены: -
Заменен на: -
Код ОКС: 03.120.30
Скачать PDF: ГОСТ Р 50779.28-2017 Статистические методы. Степенная модель. Критерии согласия и методы оценки.pdf
Скачать Word:ГОСТ Р 50779.28-2017 Статистические методы. Степенная модель. Критерии согласия и методы оценки.doc


Текст ГОСТ Р 50779.28-2017 Статистические методы. Степенная модель. Критерии согласия и методы оценки



ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ

СТАНДАРТ

РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

ГОСТР

50779.28—

2017

(МЭК 61710:2013)

Статистические методы

СТЕПЕННАЯ МОДЕЛЬ. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ

И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ

(IEC 61710:2013, Power law model — Goodness of-fit tests and estimation methods,

MOD)

Издание официальное

Москва

Стандартииформ

2017

ГОСТ Р 50779.28—2017

Предисловие

1    ПОДГОТОВЛЕН Открытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АО «НИЦ КД») на основе собственного перевода на русский язык англоязычной версии стандарта, указанного е пункте 4

2    ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Применение статистических методов»

3    УТВЕРЖДЕН И 8ВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 10 августа 2017 г. № 863-ст

4    Настоящий стандарт является модифицированным по отношению к международному стандарту МЭК 61710:2013 «Стеленная модель. Критерии согласия и методы оценки» (IEC 61710:2013 «Power law model — Goodness of-fit tests and estimation methods». MOD) путем изменения отдельных фраз. слов, ссылок, которые выделены в тексте стандарта курсивом, а также путем внесения технических отклонений. указанных во введении к настоящему стандарту.

Международный стандарт разработан Техническим комитетом ТС 56 «Dependability» Международной электротехнической комиссии (IEC)

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного между* народного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5—2012 (пункт 3.5).

Сведения о соответствии ссылочного национального стандарта международному стандарту, использованному в качестве ссылочного е примененном международном стандарте, приведены в дополнительном приложении ДА

5    ВЗАМЕН ГОСТ Р 50779.28—2007 (МЭК61710:2000)

Правила применения настоящего стандарта установлены в статье 26 Федерального закона от 29 июня 2015 г. №> 162-ФЗ «О стандартизации в Российской Федерации». Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе «Национальные стандарты», а официальный текст изменений и поправок — е ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет f)

© Стамдартинформ. 2017

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

II

ГОСТ Р 50779.28—2017

Содержание

1    Область применения....................................................................................................................................1

2    Нормативные ссылки....................................................................................................................................1

3    Термины и определения...............................................................................................................................1

4    Обозначения.................................................................................................................................................1

5    Степенная модель........................................................................................................................................2

6    Требования к данным...................................................................................................................................3

7    Статистические оценки и критерии.............................................................................................................5

Приложение А (справочное) Степенная модель. Общие сведения..........................................................17

Приложение В (справочное) Числовые примеры.......................................................................................18

Приложение С (справочное) Байесовский подход к анализу степенной модели.....................................26

Приложение ДА (справочное) Сведения о соответствии ссылочных национальных

стандартов международным стандартам, использованным в качестве

ссылочных в примененном международном стандарте................................................38

Библиография................................................................................................................................................39

ГОСТ Р 50779.28—2017

Введение

В настоящем стандарте приведено описание степенной модели и даны рекомендации по ее использованию. Стеленная модель является одной из наиболее используемых моделей надежности восстанавливаемых объектов. В настоящем стандарте установлены методы определения оценок параметров стеленной модели, критерии проверки соответствия ей данных, а также методы построения доверительных интервалов для параметра потока отказов и предикционных интервалов для наработок до отказа. Исходные данные представляют собой набор наработок между отказами восстанавливаемого объекта или группы идентичных объектов. Наблюдение за наработками объекта завершают в момент последнего отказа или в момент цензурирования. Все выходные данные зависят от типа рассматриваемого объекта.

Некоторые методы требуют применения компьютерных программ, поскольку являются весьма сложными. Представленные в настоящем стандарте алгоритмы могут быть использованы для создания компьютерных программ.

В настоящем стандарте в разделе «Нормативные ссылки» ссылка на международный стандарт заменена ссылкой на национальный стандарт.

IV

ГОСТ Р 50779.28—2017 (МЭК 61710:2013)

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

СТЕПЕННАЯ МОДЕЛЬ. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ

Statistical methods. Power law model. Goodness of-fit tests and estimation methods

Дата введения — 2018—12—01

1    Область применения

8 настоящем стандарте установлены методы определения точечной оценки параметров степенной модели, доверительных интервалов для параметра потока отказов, предикционных интервалов для наработок до отказов и критерии согласия для степенной модели на основе данных о наработках восстанавливаемых объектов. При этом предполагают, что данные о наработках до отказа исследуемых объектов или некоторой группы идентичных объектов должны быть получены в одинаковых условиях (например, при одинаковой нагрузке или в одинаковых условиях окружающей среды).

2    Нормативные ссылки

8 настоящем стандарте использована нормативная ссылка на следующий стандарт:

ГОСТ Р 50779.10 (ИСО 3534-1:93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссыгкдоых стандартов в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет ипч по ежегодному информационному указателю «Национальные стандарты», который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты» за текущий гад. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений, если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия). Если после утверждения настоящего стандарта в ссылочный стандарт, на который дана датированная осыпка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссылка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссыпку.

3    Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ГОСТР 50779.10.

4    Обозначения

8 настоящем стандарте применены следующие обозначения: f)    — параметр формы степенной модели;

ji    — оценка параметра формы стеленной модели;

Издание официальное

1

ГОСТ Р 50779.28—2017

Pie* Р ив

С2

—-

X7

х2р)

d

Е1ОД

F

-

т

i

J

к

L U

).

к

М

N

N

/

т

Ч#01

Я

Т

г

т

)

—-

f,

t

_

ч

ч

2(0

2(()

2 LB- ZUB

нижняя и верхняя доверительные границы параметра 0; статистика критерия согласия Крамера-Миэеса;

критическое значение статистики критерия согласия Крамера-Миэеса для уровня у;

статистика критерия согласия хи-квадрат;

квантиль /^распределения с v степенями свободы уровня у

количество интервалов для групп отказов;

математическое ожидание количества отказов за время Г,

математическое ожидание наработки до/-го отказа:

оценка математического ожидания количества отказов за время Ц/);

оценка математического ожидания наработки до /'-го отказа;

квантиль F-распределения с (v,, v2) степенями свободы уровня у,

общий индекс;

общий индекс;

количество объектов:

множители, используемые при вычислении границ доверительных интервалов для параметра потока отказов; параметр масштаба степенной модели; оценка параметра масштаба степенной модели; параметр статистического критерия Крамера-Миэеса; количество отказов; количество отказов /-го объекта; суммарное количество отказов за время Г. суммарное количество отказов за время f(/):

разность между порядковым номером будущего (прогнозируемого) отказа и порядковым номером последнего (наблюдаемого) отказа:

суммарная наработка;

продолжительность испытаний с ограниченным временем наблюдений: полная суммарная наработка /-го объекта;

нижняя и верхняя продикционные границы для наработки до Я-го будущего отказа;

оценка медианы наработки до (N +1}-го отказа;

наработка до /-го отказа;

наработка до г-го отказа >-го объекта;

продолжительность испытаний с ограниченным количеством отказов; наработка до W-ro отказа /-го объекта;

конечные точки /-го интервала наработок для сгруппированных отказов:

параметр потока отказов в момент времени г.

оценка параметра потока отказов в момент времени Г

нижняя и верхняя доверительные границы для параметра потока отказов.

5 Степенная модель

Статистические методы для степенной модели используют данные о количестве отказов и наработках. полученные при испытаниях или эксплуатации. Ниже приведены основные уравнения степенной модели. Общие сведения о стеленной модели приведены в приложении А. а примеры ее применения — в приложении 8.

2

ГОСТ Р 50779.28—2017

Математическое ожидание суммарного количества отказов за время t

£ |N(/)] = X . Х>0,р>0. t> 0.

где X — параметр масштаба;

Р — параметр формы (0 < р < 1 соответствует уменьшающемуся параметру потока отказов; р = 1 соответствует постоянному параметру потока отказов; р > 1 соответствует увеличивающемуся параметру потока отказов).

Параметр потока отказов в момент времени Г

z(0-^£[W(0]-J-P^ '.(>0.

Таким образом, параметры X и р влияют на параметр потока отказов в заданный момент времени. 8 7.2 приведены методы определения оценки максимального правдоподобия для параметров X и р. В 6.3 приведены критерии согласия для степенной модели, а в 7.4 и 7.5 — методы определения доверительного интервала. В 7.6 приведены методы определения предикционного интервала, а в 7.7 — критерии проверки равенства параметров формы. Модель проста для оценки, но если р < 1. теоретически 2(0) = » (2(0 стремится к бесконечности при t стремящемся к нулю) и 2(») = 0 (2(0 стремится к нулю при t. стремящемся к бесконечности). Однако эти теоретические ограничения не влияют на практическое использование модели.

6 Требования к данным

6.1    Общие положения

6.1.1    вариант 1. Известны наработки до каждого отказа одного или нескольких объектов из одной совокупности

Обычно методы оценки предполагают, что наблюдаемые наработки определяются точными моментами появления отказа единственного восстанавливаемого объекта или набора одинаковых восстанавливаемых объектов. На рисунках 1—3 показано, как определяют наработки в трех общих случаях.

6.1.2    Вариант 1а). Один восстанавливаемый объект

Для одного восстанавливаемого объекта, наблюдаемого с момента времени 0 до момента времени Т. соответствующая наработка t, является временем функционирования объекта (исключая время ремонта и простоя) до возникновения /-го отказа, как показано на рисунке 1.

Д — мэрабогса: в — простой Рисунок 1 — Один восстанавливаемый объект

Испытания с ограниченным временем наблюдений проводят до достижения наработки Г. которая не совпадает с моментом возникновения отказа, а испытания с ограниченным количеством отказов, проводят до момента возникновения W-го отказа, т.е. до наработки tN. Для обработки результатов испытаний с ограниченным временем наблюдений и с ограниченным количеством отказов, используют различные формулы.

6.1.3 Вариант 1Ь). Несколько идентичных восстанавливаемых объектов, наблюдаемых в течение одного и того же интервала времени

Предполагается, что имеется к объектов из одной совокупности, то есть объекты являются идентичными и функционируют в одинаковых условиях (окружающей среды и нагрузки). Если объекты наблюдают до достижения наработки Т\ которая не совпадает с моментом возникновения отказа (испытания, ограниченным временем наблюдений), тогда данные о наработках объединяют, отражая моменты отказов (f;, /=1.2 .... N) всех к объектов на одной оси времени, как показано на рисунке 2.

3

ГОСТ Р 50779.28—2017

А — 1-й объект, в — 2-м объект. С — к-й объект; О — объединенный процесс

Рисунок 2 — Несколько идентичных восстанавливаемых объектов, наблюдаемых в течение одного

и того же интервала времени

6.1.4 Вариант 1с). Несколько идентичных восстанавливаемых объектов, наблюдаемых в течение различных интервалов времени

Если не все объекты функционируют в течение одного и того же интервала времени, то можно считать, что моменты прекращения наблюдений удовлетворяют условию Г, < Т2 < ... < Тк. Данные об отказах объединяют, отражая все моменты возникновения отказов всех объектов к на общей оси. как показано на рисунке 3. Наработки до отказа >=1.2..... N, где N — общее количество отказов, исследуют совместно по всем к объектам.

А — 1-й объект; в — 2-й объект; С — 3-й объект, D — Jc-й объект; I — ереып

Рисунок 3 — Несколько восстанавливаемых объектов наблюдаемых в течение различных интервалов времени

6.2    Вариант 2. Известны интервалы наработок для групп отказов одного или нескольких объектов из одной совокупности

Этот альтернативный метод используют, когда имеется хотя бы два объекта и данные состоят из известных интервалов времени, в течение которых произошло известное количество отказов.

Период наблюдений представляет собой [интервал (0. 7)1. разделенный на d интервалов 0 < t.

Г(1> < /(2) < ... < f(d). При этом с-й интервал — это период времени от ф - 1) до 1(г), > = 1.2.....d. где

/(0) = 0. /{</) = Т. важно отметить, что продолжительности интервалов времени и количество отказов в каждом из них могут быть неодинаковыми.

6.3    Вариант 3. Известны наработки до каждого отказа нескольких восстанавливаемых объектов из различных совокупностей

Предполагается, что существует к объектов, которые не принадлежат к одной совокупности и их не» обходимо сравнить. Если каждый объект рассмотреть отдельно, необходимо использовать вариант 1а) в 6.1.2.

Если должно быть выполнено прямое сравнение систем в качестве расширения 6.1 необходимо испопьзовать следующие обозначения:

tq — время возникновения /-го отказа для процесса, соответствующего ;»му объекту:

N. — количество наблюдаемых отказов )»го объекта: tN) — время возникновения Af-ro отказа >»го объекта.

гдв> = 0,1.2.....Wj и/= 1, 2,... А.

4

ГОСТ Р 50779.28—2017

7 Статистические оценки и критерии

7.1 Краткий обзор

В варианте 1 (известны наработки до ка>кдого отказа) дано описание испытаний с ограниченным количеством отказов с одним восстанавливаемым объектом, т. е.. когда к - 1. Все результаты соответствуют одному объекту. Формулы для данных с ограниченным количеством отказов, предполагают, что к идентичных объектов наблюдают в течение одного интервала времени. Методы определения точечных оценок для всех вышеупомянутых случаев приведены в 7.2.1. Соответствующие методы для случая, когда все объекты наблюдают в различные отрезки времени, приведены в 7.2.2. Методы для случая испытаний с ограниченным временем наблюдений для групп отказов приведены в 7.2.3.

Соответствующий критерий согласия, описанный в 7.3. следует применять после определения точечных оценок параметра в соответствии с 7.2. Эти критерии и методы (см. 7.4—7.7) для определения интервальных оценок различают только случай известных наработок до каждого отказа (все ситуации варианта 1, т. е. 1а), 1Ь) и 1с)) и случай известных интервалов наработок для групп отказов (вариант 2).

Для выборок, объем которых составляет менее 10 единиц, методы определения приближенных оценок следует применять с большой осторожностью.

7.2 Точечная оценка

7.2.1 Варианты 1а) и 1Ь). Известны наработки до каждого отказа

Метод применяют только в тех случаях, когда зафиксированы наработки для каждого отказа в соответствии с 6.1.2 и 6.1.3.

Этап 1. Вычисляют сумму:

н

S,« £ln л»

7”

/ ) ы_

\ li )

(испытания с ограниченным временем наблюдений), (испытания с ограниченным количеством отказов).

N

S2 « X In

j-i

Этап 2. Вычисляют несмещенную оценку параметра формы р:

Э я —— (испытания с ограниченным временем наблюдений), - N-2

(J * —=— (испытания с ограниченным количеством отказов). *2

Этап 3. Вычисляют оценку параметра масштаба X:

X в-(испытания с ограниченным временем наблюдений).

mrf

X в ^ (испытания с ограниченным количеством отказов).

Этап 4. Вычисляют оценку параметра потока отказов 2(0 в момент времени t > 0:

z(0 = xM"1.

Оценка 2(0 является оценкой параметра потока отказов в точке t из диапазона данных. Оценки для будущих значений f могут быть получены точно так же. но их следует использовать с обычными предостережениями, связанными с экстраполяцией.

Этап 5. На основе N выявленных отказов, последний из которых произошел в момент времени tN. можно получить оценку медианы наработки до (W + 1 >-го отказа:

1

Ты* 1 в fwexp

Q.5^1 -1 A/p/N-1

(испытания с ограниченным временем наблюдений).

5

ГОСТ Р 50779.28—2017

-1

TN.i»tNexp

as**1 ~i «р/N - 2

(испытания с ограниченным количеством отказов).

7.2.2 вариант 1с). Известны наработки до каждого отказа

Метод применяют только а случае, когда известны наработки до каждого отказа в соответствии с

6.1.4.

Этап 1. Собирают данные о наработках до отказа f(, i- 1.2.....N. где N — общее количество от»

каэов по к объектам и 7} fj - 1.2.....А) — время окончания наблюдений за j-м объектом.

Этап 2. Оценка максимального правдоподобия (J для параметра формы р является решением уравнения

N

N

Р |-1

А/Х7*1пГ,

N

N

Р ■-»

X1?

>•1

о.

X7?

/-1

Для решения уравнения используют итеративный метод. Этап 3. вычисляют оценку параметра масштаба X:

N

I7?

Этап 4. вычисляют оценку параметра потока отказов 2(f) для времени f > 0:

2(f)

Оценка 2(f) является оценкой параметра потока отказов в точке f из диапазона данных. Оценки для будущих значений f могут быть получены точно так же. но их следует использовать с обычными предостережениями, связанными с экстраполяцией.

7.2.3 вариант 2. Известны интервалы наработок для групп отказов

Метод применяют, когда набор данных состоит из известных интервалов времени, в течение кото» рых произошло известное количество отказов в соответствии с 6.2.

Этап 1. Из набора данных выбирают количество отказов W,. зафиксированных в ш интервале (f(/ - 1). f(0l. i=1.2.....d. Общее количество отказов:

г-1

Этап 2. Оценка максимального правдоподобия р параметра формы р является корнем уравнения

сГ

г-1

|f(/)]PJnf(/)-|f{/-1)lP!nf(/-1)

-lnf(tf)

0.

Очевидно, что (f(0)f = 0 и (f(0)^ in f(0) = 0. После нормализации членов f(.) относительно t(d) член lnf(d) исчезает. Для решения уравнения относительно (3 используют итеративный метод.

6

ГОСТ Р 50779.28—2017

Этап 3. Вычисляют оценку параметра масштаба X:

t[df

Этап 4. Вычисляют оценку параметра потока отказов z{f) в произвольный момент времени t > 0:

Оценка z(f) является оценкой параметра потока отказов в точке t из диапазона данных. Оценки для будущих значений t могут быть получены точно так же. но их следует использовать с обычными предостережениями, связанными с экстраполяцией.

7.3 Критерии согласия

7.3.1    Случай 1. Известны наработки до каждого отказа

7.3.1.1    Критерий Крамера-Мизеса

Этап 1. Вычисляют р в соответствии с 7.2.1 или 7.2.2. этап 2.

Этап 2. Вычисляют статистику критерия согласия Крамера-Мизеса:

где М - N и Т - Т (испытания с ограниченным временем наблюдений).

М =А/ - 1 и Т = tN (испытания с ограниченным количеством отказов).

Этап 3. Определяют по таблице 1 критическое значение критерия Крамера-Миэеса С20 м(М) для уровня значимости 10%.

Таблица 1 — Критические значения критерия согласия Крамера-Мизеса для уровня значимости 10 %

м

Критическое значение статистики С^д^М)

3

0.154

4

0.155

5

0.160

6

0.162

7

0.165

8

0.165

9

0.167

10

0.167

11

0.169

12

0.169

13

0.169

14

0.169

15

0.169

16

0.171

17

0.171

18

0.171

19

0.171

20

0.172

30

0.172

2 60

0.173

Примечание 1 — Для испытаний с ограниченной наработкой М * N.

Примечание 2 — Для испытаний с ограниченным количеством отказов М » N - 1.

7

ГОСТ Р 50779.28—2017

Этап 4. Если

С2 > Cq эд(М)>

гипотезу о соответствии данных степенной модели отклоняют. 8 противном случае принимают решение о соответствии данных степенной модели как рабочую гипотезу.

7.3.1.2 Графический метод

Если известны наработки до каждого отказа, для получения дополнительной информации о со» ответствии данных степенной модели можно использовать графический метод. Он требует построения графика математического ожидания наработки до /-го отказа E(t}) в соответствии с наблюдаемыми на» работками до /-го отказа. Более подробное описание метода приведено в приложениях Айв.

Этап 1. вычисляют р в соответствии с 7.2.1, этап 2 и X в соответствии с 7.2.1. этап 3.

Этап 2. вычисляют оценку математического ожидания наработки до /• го отказа, для/ = 1. 2.....N

Этап 3. Изображают графикЕф в зависимости от t- в идентичных линейных координатах, визуальная согласованность точек графика с прямой, проходящей через начало координат под углом 45° является субъективной мерой применимости модели.

7.3.2 вариант 2. Известны интервалы наработок для групп отказов

7.3.2.1 Критерий х2

Этап 1. вычисляют р в соответствии с 7.2.3, этап 2 и X в соответствии с 7.2.3, этап 3.

Этап 2. вычисляют математическое ожидание количества отказов в интервале времени [ф' -1), Т(г)]:

в,-х{вд'М^-1)]р}.

Этап 3. Для каждого интервала е, не должно быть менее 5. В случае необходимости, смежные интервалы необходимо объединять до выполнения критерия. Для d интервалов (после объединения при необходимости) и с соответствующими значениями N, вычисляют статистику %г аналогично 7.2.3:

г-1

в;

Этап 4. Определяют критическое значение Хоэо^ “ 2), используя таблицу х2-распределения с (О - 2) степенями свободы и уровнем значимости 10 % (см. таблицу 2).

Этап 5. Если тестовая статистика х2 превышает критическое значение х| ~ 2) гипотезу о соответствии степенной модели сгруппированным данным отклоняют, в противном случае соответствие данных стеленной модели принимают как рабочую гипотезу.

Критерий х2 является критерием для больших выборок, поскольку для выявления отклонения от степенной модели он требует больших наборов данных.

Таблица 2 — Квантили х2-раслредвпения

Степени свободы v

Хо.мМ

*0.90<v>

ХовбМ

2

0.10

4.61

5.99

4

0.71

7.78

9.49

6

1.64

10.65

12.59

8

2.73

13.36

15.51

10

3.94

15.98

18.31

12

5.23

18.55

21.03

14

6.57

21.06

23.69

18

7.96

23.54

26.30

18

9.39

25.99

28.87

20

10.85

28.41

31.41

8

ГОСТ Р 50779.28—2017

Окончание таблицы 2

Степени свободы v

Zo.ceM

Хо.»М

22

12.34

30.81

33.92

24

13.85

33.20

36.42

26

15.38

35.56

38.89

28

16.92

37.92

41.34

30

18.49

40.26

43.77

32

20.09

42.57

46.17

34

21.70

44.88

48.57

36

23.30

47.19

50.96

38

24.91

49.50

53.36

40

26.51

51.81

55.76

42

28.16

54.08

58.11

50

34.76

63.17

67.51

52

36.45

65.42

69.82

60

43.19

74.40

79.08

62

44.90

76.63

81.37

70

51.74

85.53

90.53

72

53.47

87.74

92.80

80

60.39

96.58

101.88

82

62.14

98.78

104.13

90

69.13

107.57

113.15

92

70.89

109.76

115.39

100

77.93

118.50

124.34

102

79.70

120.68

126.57

110

86.79

129.38

135,48

112

88.57

131.56

137.70

120

95.71

140,23

146.57

122

97.49

142.40

148.78

200

168.28

226.02

233.99

*0

-1.64

+ 1.28

+ 1.64

Примечание 1 — 1 Линейная интерполяция промежуточных значений является достаточно точной.

Примечание 2 — Для богъших значений v используют приближение х*

+ V2v-1)^J/2 (zp — хеан-

тигъ нормированного нормального распределения уровня р).

7.3.2.2 Графический метод

Если набор данных состоит из известных интервалов времени, в течение которых произошло известное количество отказов, то для получения дополнительной информации о соответствии данных стеленной модели можно использовать графический метод. Метод предусматривает построение ма* тематического ожидания количества отказов в соответствии с наблюдаемым количеством отказов в точках границ интервалов. Более подробно описание метода приведено в приложении А.

Этап 1. Для каждой точки ^вычисляют наблюдаемое количество отказов в интервале от 0 до t(i):

wlf(0j = I'V

/-1

9

ГОСТ Р 50779.28—2017

Этап 2. вычисляют оценку математического ожидания количества отказов Е [А/ ft/)]}:

E[N№)] = h>i.

Этап 3. Строят график Е [N [{(г)]] в соответствии с N [*(/)] в идентичных линейных координатах. Визуальная согласованность точек с прямой, проходящей под углом 45* через начало координат, является субъективной мерой применимости модели.

7.4 Доверительные интервалы для параметра формы

7.4.1    вариант 1. Известны наработки до каждого отказа

Параметр формы р степенной модели определяет характер изменения параметра потока отказов во времени. Если 0 < р < 1,то параметр потока отказов убывает. Если р - 1. то параметр потока отказов является постоянным. Если р > 1. то параметр потока отказов увеличивается.

При построении двустороннего доверительного интервала для р на основе известных наработок, следует выполнить приведенные ниже шаги.

7.4.1.1    Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 %. Данные с ограниченным временем наблюдений

Этап 1. вычисляют р в соответствии с 7.2.1. этап 2 или в соответствии с 7.2.2. этап 2.

Этап 2. вычисляют значения DL и Ои:

г, Xo.os(2W)

L    2{N -1)

„    Zo.95(2N)

и    2(N -1)

Значения квантиля х2* распределения приведены в таблице 2.

Этап 3. вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:

Ри*

Этап 4. Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 % имеет вид

(Pte* Эце)-

Примечание — Значения величин р^д и Рде являются таже нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для р с уровнем доверия 95 %.

7.4.1.2 Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 %. Данные с ограниченным количеством отказов

Этап 1. вычисляют р в соответствии с 7.2.1. этал 2.

Этап 2. вычисляют значения DL и Ои:

„    x!.05<2<N-D)

2(N - 2)

„    x!.«(2(N-1))

°° “    2(N - 2)

Значения квантилей у}- распределения приведены в таблице 2.

Этап 3. вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:

Pie * 0J3.

Эие ~

Этап 4. Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 % имеет вид

(Pte* Рцв)-

Примечание — Значения 0^ и рде являются также нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для Р с уровнем доверия 95 %.

10

ГОСТ Р 50779.28—2017

7.4.2 вариант 2. Известны наработки для групп отказов Этап 1. Вычисляют р а соответствии с 7.2.3. этап 2.

Этап 2. Вычисляют значения Р(г):

Р( 0

ли

t(d)'

Этап 3. Вычисляют значение А:

d.

л . £ И*)]*    [р(< - -Of х[р(' -1)]11

Этап 4. Вычисляют значение С:

Этап 5. Для определения приближенного двустороннего доверительного интервала для р с уровнем доверия 90 % вычисляют значение S:

1.64С

'

где N — общее количество отказов.

Этап 6. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала

Pte = W1-SJ,

Рш»=Р<1 +$).

Этап 7. Двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 % имеет вид

(Pi.fi1 Pi/fi)-

Примечание — Значения р^_д и рде — яапяюгся также нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для р с уровнем доверия 95 %.

7.5 Доверительные интервалы для параметра потока отказов

7.5.1 Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа

Этап 1. Вычисляют 2(0 в соответствии с 7.2.1. этап 4 или в соответствии с 7.2.2, этап 4.

Этап 2. Для двустороннего доверительного интервала с уровнем доверия 90 % с помощью таблицы 3 (испытания с ограниченным временем наблюдений) и таблицы 4 (испытания с ограниченным количеством отказов) определяют значения L и U для объема выборки N.

Этап 3. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:

г

£(0

U '

гив

Этап 4. Двусторонний доверительный интервал для z(0 с уровнем доверия 90 % имеет вид

(2te* 2ов>-

Примечание — Значения и где являются нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для z(i) с уровнем доверия 95 %.

11

ГОСТ Р 50779.28—2017

Таблица 3 — Коэффициенты LhU для двусторонних доверительных интервалов с уровнем доверия 90 % при испытаниях с ограниченной наработкой

IV

L

и

N

1

и

3

0.175

6.490

21

0.570

1.738

4

0.234

4.460

22

0.578

1.714

5

0.281

3.613

23

0.586

1.692

6

0.320

3.136

24

0.593

1.672

7

0.353

2.826

25

0.600

1.653

8

0.381

2.608

26

0.606

1.635

9

0.406

2.444

27

0.612

1.619

10

0.428

2.317

28

0.618

1.604

11

0.447

2,214

29

0,623

1.590

12

0.464

2.130

30

0.629

1.576

18

0.543

1.825

70

0.745

1.336

19

0.552

1.793

80

0.759

1.311

20

0.561

1.765

100

0.783

1.273

Примечание 1—Для N>100

Примечание 2 — Линейная интерполяция промежуточных значений дает достаточно точные результаты.

7.5.2 вариант 2. Известны наработки до каждого отказа Этап 1. Вычисляют 2(f) в соответствии с 7.2.3. этап 4.

Этап 2. Вычисляют значения Р(/):

рютщ-

Этап 3. Вычисляют значение А:

л fHol’inH')]1* -И'-1>]Чр('-1)F

[p(')]4p('-i)J*

Таблица 4 — Коэффициенты L и U для двусторонних доверительных интервалов с уровнем доверия 90 % при испытаниях с ограниченным количеством отказов

IV

L

и

N

1

и

3

0.1712

4.746

21

0.6018

1.701

4

0.2587

3.825

22

0.6091

1.680

5

0.3174

3.254

23

0.6160

1.659

6

0.3614

2.892

24

0.6225

1.641

7

0.3962

2.644

25

0.6286

1.623

8

0.4251

2.463

26

0.6344

1.608

9

0.4495

2.324

27

0.6400

1.592

10

0.4706

2.216

28

0.6452

1,578

12

ГОСТ Р 50779.28—2017

Окончание таблицы 4

N

L

и

N

1

и

11

0.4891

2.127

29

0.6503

1.566

12

0.5055

2.053

30

0.6551

1.553

13

0.5203

1.991

35

0.6763

1.501

14

0.5337

1.937

40

0.6937

1.461

15

0.5459

1.891

45

0.7085

1.428

16

0.5571

1.876

50

0.7212

1.401

17

0.5674

1.814

60

0.7422

1.360

18

0.5769

1.781

70

0.7587

1.327

19

0.5857

1,752

80

0.7723

1.303

20

0.5940

1.726

100

0.7938

1.267

Примечание 1—Для N >100

Примечание 2 — Линейная интерполяция промежуточных значений дает достаточно точные результаты.

Этап 4. Вычисляют значение D:

Этап 5. Для определения приближенного двустороннего доверительного интервала для z(f) с уровнем доверия 90 % вычисляют значение S:

с 1.64D S» г- .

где N — общее количество отказов.

Этап 6. Вычисляют нижнюю и верхнюю доверительные границы интервала:

г

i<0

1 + S'

гив

т

1 -s'

Этап 7. Двусторонний доверительный интервал для z(t) с уровнем доверия 90 % имеет вид

tfte* zub>-

Примечание — Значения и zue являются также нижней и верхней границами односторонних доверительных интервалов для z(<) с уровнем доверия 95 %.

7.6 Предикционные интервалы для наработки до будущих отказов единственного объекта

7.6.1 Предикциоиный интервал для наработки до следующего отказа Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа

Двусторонний предикционкый интервал с уровнем доверия 90 % для наработки до (W ♦ 1 }*го отказа Гми, т. е. до будущего отказа, следующего за N наблюдаемыми отказами при известных наработках

до отказов f,, t2.....tN определяют в соответствии со следующей процедурой.

Этап 1. Вычисляют р в соответствии с 7.2.1. этап 2 или в соответствии с 7.2.2. этап 2.

13

ГОСТ Р 50779.28—2017

Этап 2. вычисляют нижнюю и верхнюю границы лредикционного интервала для Гм-1: ' 0.95^ -1

'и.

'и.

fwexp

fwexp

(испытания с ограниченным временем наблюдений).

(испытания с ограниченным количеством отказов),

Tv

tN exp

0,05^-1 N\\/N -1

(испытания с ограниченным временем наблюдений),

Tv

ехр

0,05^ -1

wp/W-2

(испытания с ограниченным количеством отказов).

Этап 3. Определяют двусторонний предикционный интервал для TN>1 с уровнем доверия 90 % —

и. Ли)-

Примечание — Границы 71t и 7 являются также нижней и верхней границами односторонних пре-дихционных интервалов для    1 с уровнем доверия 95 %.

7.6.2 Предикционный интервал для наработки до Я-го будущего отказа Вариант 1. Известны наработки до каждого отказа

Приближенный двусторонний предикционный интервал с уровнем доверия 90 % для наработки до (R ♦ ЛО-го отказа т. е. для /?чо будущего отказа после N отказов с известными наработками до

отказов f,. f2.....tN, определяют в соответствии со следующей процедурой.

Этап 1. Вычисляют р в соответствии с 7.2.1. этап 2 или в соответствии с 7.2.2. этап 2 Этап 2. Вычисляют значение G

G в

(/У-0,5)(А/ + /?-0, 1    NR

Этап 3. Вычисляют значение V

V a 2WGIn

N + R- 0.5

N -0.5

Этап 4. вычисляют нижнюю и верхнюю границы предикционного интервала для TN_R: V(N- 2)

Гмммр

TRL =^ехр Гри -fwexp Tro e to

2W(N-1)G|3F095(2<W-1).n V

2WG^0„(2(W-1)y') V(N -2]FQ/iS(V',2(N -1))

2N{N - 1)G|) VF0.95(V',2<N-1))

(испытания с ограниченным количеством отказов), (испытания с ограниченным временем наблюдений), (испытания с ограниченным количеством отказов).

2A/GP

(испытания с ограниченным временем наблюдений).

Значения квантилей F-pa определения приведены в таблице 5. Знаком V обозначено значение V. округленное до целого числа.

Этап 5. Определяют двусторонний предикционный интервал для ТЫ¥Й с уровнем доверия 90 % —

Тм).

Примечание — Границы 7^ и 7^ являются также нижней и верхней границами односторонних пре-дихционных интервалов для 7^R с уровнем доверия 95 %.

14

ГОСТ Р 50779.28—2017

Таблица 5 — Квантили ^-распределения уровня 0.95 FQ ^(v,. v2>

ч2

VI

2

4

в

в

10

20

30

d0

во

120

-

2

19.00

19.20

19.30

19.40

19.40

19.40

19.50

19.50

19.50

19.50

19.50

4

6.94

6.39

6.16

6.04

5.96

5.80

5.75

5.72

5.69

5.66

5.63

6

5.14

4.53

4.28

4.15

4.06

3.87

3.81

3.77

3.74

3.70

3.67

в

4.46

3.84

3.58

3.44

3.35

3.15

3.08

3.04

3.01

2.97

2.93

10

4.10

3.48

3.22

3.07

2.98

2.77

2.70

2.66

2.62

2.58

2.54

12

3.89

3.26

3.00

2.85

2.75

2.54

2.47

2.43

2.38

2.34

2.30

14

3.74

3.11

2.85

2.70

2.60

2.39

2.31

2.27

2.22

2.18

2.13

16

3.63

3.01

2.74

2.59

2.49

2.28

2.19

2.15

2.11

2.06

2.01

18

3.55

2,93

2.66

2.51

2.41

2.19

2.11

2.06

2.02

1.97

1.92

20

3.49

2.87

2,60

2.45

2.35

2.12

2.04

1.99

1.95

1.90

1.84

30

3.32

2.69

2,42

227

2.16

1.93

1.84

1.79

1.74

1.68

1.62

40

3.23

2.61

2.34

2.18

2.08

1.84

1.74

1.69

1.64

1.58

1.51

60

3.15

2,53

2.25

2.10

1.99

1.75

1.65

1.59

1.53

1.47

1.39

120

3.07

2.45

2.18

2.02

1.91

1.66

1.55

1.49

1.43

1.35

1.25

«О

3.00

2.37

2,10

1.94

1.83

1.57

1.46

1.39

1.32

1.22

1.00

Примечание — Линейная интерполяция для промежуточных значений дает достаточно точные результаты.

7.7 Проверка гипотез о равенстве параметров формы ^.....

7.7.1 вариант 3. Известны наработки до каждого отказа двух объектов из различных совокупностей

Этап 1. Вычисляют ft, для 1 -го объекта и ft2 для 2-го объекта в соответствии с 7.2.1. этап 2. Этап 2. Вычисляют значения S, и S2:

Этап 3. Вычисляют значение F:

N,-1

S, -

j=i

«,-1

Sj ■ £ In

/>1

lN,

*№-1)

S2(W,-1)-

Этап 4. Если выполняется неравенство

-< F < Ял л«

i=0^s(2{W2 -1).2(ЛГ,-1))

(2f/V, -1).2(iV2 -1)).

нулевая гипотеза о равенстве значений р, и р2 с уровнем значимости 10 % не может быть отклонена. В противном случае принимают решение, что на основе имеющихся данных параметры формы моделей двух объектов статистически различны. Квантили Я-распределения приведены в таблице 5.

7.7.2 Вариант 3. Известны наработки до каждого отказа трех или более объектов из различных совокупностей

Этап 1. Вычисляют fty для объекта j.j- 1.2.....к в соответствии с 7.2.1. этап 2.

Этап 2. Вычисляют значение S-:

S

!

N -1

I'»

*N

15

ГОСТ Р 50779.28—2017

Этап 3. вычисляют значение N:

Этап 4. вычисляют значение W.

V1 N. £ /•1

W «1 +

к

I

/-1

1

2К-1)

1

2(W-A) '

Этап 5. вычисляют значение У:

V

/-1

Этап 6. Если выполняется неравенство

Хо.»о(*

нулевая гипотеза о равенстве значений р не может быть отклонена с уровнем значимости 10 %. в противном случае принимают решение, что параметры формы моделей соответствующих различным объектам статистически различны. Квантили х2* распределения приведены в таблице 2.

16

ГОСТ Р 50779.28—2017

Приложение А (справочное)

Степенная модель. Общие сведения

Степенную модель часто используют для анализа надежности восстанавливаемых объектов. Она особенно удобна для объектов, время ремонта которых незначительно и надежность которых остается неизменной после отказа и последующего ремонта. Степенная модель также применима для объектов, надежность которых может улучшаться. Степенная модель впервые исследована в (1].

В (1] сформулирована основная вероятностная модель как негомогенный процесс Пуассона [N(/)- i > 0] с математическим ожиданием

Е[ЛЧГ)] = >.|Р

и параметром потока отказов

г(0*Хр^1.

Модель Пуассона дает вероятность того, что W(f) примет конкретное значение

Pr[N(t) = л] =

(л = 0, 1.2....).

Кроме того, для этой модели

ЕР-^1 =}■ 0 = 1-2....}.

где Jj — наработка до j'-ro отказа. Модель дает полезное приближение первого порядка для математического ожидания наработки до /-го отказа

/ - >н|»

ЕЫ-(т)

Если р » 1. то г(() = >. и наработки между последовательными отказами подчиняются экспоненциальному распределению со средним Ш (гомогенный процесс Пуассона) с постоянным параметром потока отказов. Функция г{<) является убывающей при р < 1 (повышение надежности) и возрастающей при р > 1 (снижение надежности).

17

ГОСТ Р 50779.28—2017

Приложение В (справочное)

Числовые примеры

В.1 Введение

Следующие примеры показывают применение методов, приведенных в разделе 7. В примере 1 рассмотрены данные наработок для единственного объекта, когда наблюдения завершаются отказом. В примере 2 рассмотрены данные о наработках для каждого отказа нескольких идентичных объектов, когда наблюдения ограничены фиксированным временем. В примере 3 рассмотрены данные наработок для каждого отказа двух объектов из различных совокупностей. В примере 4 рассмотрены группы отказов единственного объекта. Во воех примерах показано использование соответствующих методов настоящего стандарта. При необходимости применены критерии согласия. Примеры допускается использовать для проверки компьютерных программ, предназначенных для расчетов е соответствии с методами раздела 7.

Все вычисления в примерах выполнены с использованием пакета программ. Хотя результаты вычислений приведены с двумя или тремя десятичными знаками, промежуточные вычисления были получены с двойной точностью (с четырьмя или шестью десятичными знаками). Если бы промежуточные вычисления были получены с меньшим количеством десятичных знаков, то результаты вычислений из-за ошибок округления отличались бы от представленных ниже результатов.

Все доверительные интервалы соответствуют уровню доверия 90 %. и аналогично все статистические критерии выполнены для уровня значимости 10 %. Они соответствуют основным значениям таблиц 1—5. Однако ест соответствующие значения взяты из других таблиц или получены с помощью программного обеспечения, то значения уровня доверия и уровня значимости могут быть выбраны в соответствии с пожеланиями пользователя.

В.2 Пример 1

Последовательные моменты отказов (в часах) программного обеспечения, являющегося частью большой системы, приведены в таблице В.1

Таблица В.1 — Наработки до отказов системы программного обеспечения

0.2; 4.2; 4.5; 5:0; 5.4; 6.1; 7.9: 14.8; 19.2; 48.6; 85.8; 108.9; 127.2; 129,8; 150.1; 159.7: 227.4; 244.7; 262.7; 315.3; 329.6; 404.3: 486.2

Примечание — tN = 486.2 ч, N - 23.

Тенденция расположения отказов в начале координат на рисунке В.1 указывает на снижение параметра потока отказов.

Y

26

t

16

4

в

в

м

9

«

О 30 IDO 1Ю ОТ 2Я зоо aso КС «о кя

X

Хр^-недвбигнь* У^-югмчосгюотмж»

Рисунок В.1 — Количество отхаэов 8 соответствии с наработкой системы программного обеспечения

16

ГОСТ Р 50779.28—2017

В соответствии с 7.2.1 оценки параметре» модели степенного закона

£ = 2.17;

р = 0.38.

Критерий согласия

В соответствии с 7.3.1.2. график, приведенный на рисунке В.2. показывает случайное рассеивание относительно прямой под утлом 45' к оси оодинат. указывающее хорошее соответствие данных стеленной модели. В таблице В.2 представлены ожидаемые и полученные в ходе испытаний значения наработок до отказа, нанесенные на график, представленный на рисунке 2. Ожидаемые значения наработок получены с помощью выделений, приведенных в 7.3.1.2. этап 2.

В соответствии с 7.3.1.1 С2 = 0.063. М-22. Для уровня значимости 10 % критическое значение из таблицы 1 равно 0,172. Так как 0.063 <0.172. можно закгеочить. что степешая модель хорошо согласуется сданными.

Y

Рисунок В2 — Средние и наблюдаемые наработки до отказа для системы программного обеспечения

Таблица В.2 — Выделенные значения суммарных наработок до отказа, представленные на рисунке В.2

Отказ

Полученное значение (ч)

Ожидаемое значение (ч)

1

0.2

0.130

2

4,2

0.803

3

4.5

2.326

4

5.0

4.946

5

5.4

8.861

6

6.1

14.326

7

7.9

21.465

8

14.8

30.468

9

19.2

41.496

10

48.6

54.705

11

85.8

70.242

12

108.9

88.250

13

127.2

108.866

14

129.8

132.224

19

ГОСТ Р 50779.28—2017

Окончание таблицы В.2

Отказ

Полученное значение <ч)

Ожидаемое значение (ч)

15

150.1

158.454

16

159.7

187.681

17

227.4

220.028

18

244.7

255.617

19

262.7

294.564

20

315.3

336.983

21

329.6

382.989

22

404.3

432.692

23

486.2

486.200

Доверительный интервал для 0

В соответствии с 7.4.1 двусторонний доверительный интервал для 0 с уровнем доверия 90 %: (0,27; 0.55). Поскольку интервал включает значения меньше единицы, это указывает на уменьшение параметра потока отказов. Доверительный интервал для параметра потока отказов

В соответствии с 7.5.1 двусторонний доверительный интервал с уровнем доверия 90 % в момент времени I = 450 ч — (0.011; 0.031) (спказы/ч).

Предикционный интервал для будущей наработки

В соответствии с 7.6.1 двусторонний предикционный интервал для наработки до 24-го отказа: (488.93:690.30) ч. В соответствии с 7.6.2 двусторонний предикционный интервал с уровнем доверия 90 % для наработки до 25-го отказа: (504.68: 845.30) ч.

В.З Пример 2

Пять идентичных систем были запущены в эксплуатацию в одно и то же время в идентичных условиях. Отказавшая система мгновенно восстанавливалась и возвращалась в эксплуатацию. Время ремонта незначительно по сравнению с наработкой. Каждую систему наблюдали в течение 1850 ч эксплуатации. Наработки до отказа приведены в таблице В.З.

Таблица В.З — Наработки до отказов пяти систем (А. В. С. D, Е)

А

В

С

0

Е

96

552

1056

1560

1224

1224

1392

1570

Результат объединения наработок после анализа данных представлен в таблице В.4.

Таблица В.4 — Объединенные наработки до отказов пяти идентичных систем

Номер отказа

Наработка, ч

1

96

2

552

3

1056

4

1224

5

1224

6

1392

7

1560

8

1570

20

ГОСТ Р 50779.28—2017

График

Впадина на рисунке В.Э указывает возможное увеличение параметра потока отказов. Оценка параметров

В соответствии с 7.2.1 оценки параметров модели

1 = 3.16-10*4.

р = 1.13.

Y

7

в

в

4

9

2

1

2

О 400 в

0 еоо 10» 1200 1400 1В

Xggg- wwCoiih. к Vw-«3fHwr»oотказов

Рисунок В.З — Количество отказов в соответствии с наработками до отказа для пяти идентичных систем

В соответствии с 7.3.1.1 С2 = 0,115. М - 8. Для уровня значимости 10 % критическое значение из таблицы 1 равно 0.165. Поскольку 0,115 < 0,165. можно сделать вывод, что степенная модель согласуется с данными. Этот результат противоречит субъективному заключению. Это означает, что восьми отказов недостаточно для отклонения степенной модели. Кроме того, приведенные ниже доверительные интервалы, основанные на этой модели, следует интерпретировать с обычными предостережениями для столь малого набора данных.

Доверительный интервал для р

В соответствии с 7.4.1 двусторонний доверительный интервал для 8 с уровнем доверия 90 %: (0.64; 2.13). Поскольку этот интервал включает значение 1. можно заключить, что нет оснований предполагать, что параметр потока отказов не постоянен.

Доверительный интервал для параметра norma отказе»

В соответствии с 7.5.1 двусторонний доверительный интервал для параметра потока отказов с уровнем доверия 90 % на момент времени (= 1000 ч имеет вид (3,46 - 10-4; 23,70 -10"4) (отказы/ч).

В.4 Пример 3

Изготовитель провел испытания продукции двух возможных поставщиков А и В. После каждого отказа испытуемые объекты были немедленно восстановлены и возвращены на испытания. Наработки до отказа приведены в таблице В.5.

Таблица В.5 — Наработки до отказа в часах для продукции поставщиков А и В

Наработка до откам (поставщик А)

Наработка до откам (поставщик В)

600

400

1100

650

1500

900

1750

1100

21

ГОСТ Р 50779.28—2017

Окончание таблицы 8.5

Наработка до отказа {поставщик А)

Наработка до отказа (поставщик В)

2000

1500

2500

2100

3100

2700

3500

3600

4500

Примечание — (N = 4500ч. N = 10.

Примечание — tN = 2700 ч. N = 7.

График

Данные, представленные на рисунке В.4. указывают на постоянство параметра потока отказов продукции каждого поставщика, хотя продукция поставщика В имеет несколько более высокую интенсивность отказов, чем продукция поставщика А.

А-продм^пастввиркаЛ; а - продукция ппстим ф— в

Рисунок В.4 — Количество отказов и наработка для продукт*) поставщиков А и В

Оценка параметров

В соответствии с 7.2.1 оценки параметров степенной модели для продукции поставщика А:

Л = 1.53 хЮ'3.

Р = 1.04.

Оценки параметров степенной модели для продукции поставщика В:

Х = 11.59 х10’3.

р =0.81.

Критерий согласия

В соответствии с 7.3.1.1 для продукции поставщика А С2 = 0.047. М - 9. Для уровня значимости 10 % критическое значение из таблицы 1 равно 0,167. Поскольку 0.047 < 0,167. можно сделать вывод, что данные хорошо согласуются со степенной моделью. Для продукции поставщика В С2 = 0.072 сМ = 6. Для уровня значимости 10 % критическое значение из таблицы 1 равно 0.162. Поскольку 0,072 < 0,162. можно сделать вывод, что данные хорошо согласуются со степенной моделью.

22

ГОСТ Р 50779.28—2017

Доверительный интервал для 8

В соответствии с 7.4.1 для продукции поставщика А двусторонний доееритетъный интервал для р с уровнем доверия 90 % имеет вид (0.61; 1.66). Для продукции поставщика В двусторонний доверительный интервал для р с уровнем доверия 90 % имеет вид (0,42; 1,70). Так как оба интервала содержат значение 1. можно сделать вывод, что нет оснований предполагать, что параметры потока отказов не постоянны. Поскольку интервалы перекрываются. можно заключить, что нет статистических различий между значениями параметров формы.

Доверительный интервал для параметра потока отказов

В соответствии с 7.5.1 для продукции поставщика А двусторонний доверительный интервал для параметра потока отказов с уровнем доверия 90% в момент времени f * 2500 ч имеет вид (1.02 -10'^; 4.60 - 10"э) сгтказЛ». Для продукции поставщика В двусторонний доверительный интервал для параметра потока отказов с уровнем доверия 90 % в момент времени ( = 2500 ч имеет вид (0.81 -10~3; 5,38 ■ 10~3} отказ/ч. Поскольку интервалы пересекаются, нет оснований предполагать различие между параметрами потока отказов этих двух поставщиков.

Проверка равенства параметров формы

В соответствии с 7.7.1 F = 0.83. а из таблицы 5 1/F0 dS(12,18) = 0,43 и Р0^6(18.12) = 2.58. Поскольку 0.43 < 0.63 < 2.58, можно сделать вывод, что нет статистических различий между параметрами формы этих двух поставщиков с уровнем значимости 10 %.

8.5 Пример 4

Отказы системы генераторов на морском судне приведены в таблице В.6. Данные об отказах зафиксированы в девяти интервалах, т.е. d - 9 - 1 » 8.

Таблица В.6 — Данные сгруппированных отказов системы генераторов

Наработке о точке конца интервала (гад)

Количество отказов в интервале

Суммарное количество отказов

0.0

0

0

2.5

4

4

3.5

5

9

4.5

4

13

5.5

2

15

6.5

14

29

7.5

11

40

8.5

9

49

9.5

10

59

10.33

14

73

График

Впадина на рисунке В.5 указывает на увеличение параметра потока отказов.

23

ГОСТ Р 50779.28—2017

Y

ВО

га

80

80

40

90

20

10

в

♦ ♦

2 ■

в

i ю i;

SCp.- Hij«6orafon»«fc Vpq.-HWWcmaomHo*

Рисунок В.5 — Суммарное количество опсзэов и наработка для системы генераторов морских судов У

Х(Ж1> — наблюдаемое суммарное количество отказов. — среднее суммарное количество отказов

Рисунок В.6 — Среднее и наблюдаемое суммарное количество отказов для системы генераторов морских судов Оценка параметров

В соответствии с 7.2.3 оценки параметров степенной модели i = 0.57.

Р = 2.08.

Критерий согласия

В соответствии с 7.3.2.2 график среднего и наблюдаемого суммарного количества отказов на рисунке В.6 показывает случайные отклонения относительно прямой, расположенной под утлом в 45" к оси X. подтверждающие хорошее согласование данных со степенной моделью.

Таблица В.7 — Вычисленные значения ожидаемого количества отказов, представленные на рисунке В.6 24

ГОСТ Р 50779.28—2017

Суммарная на работка на коней ис* следуемого периода (год)

Полученное суммарное количество отказов

Ожидаемое суммарное количество отказов

2.5

4

4.52

3.5

9

7.04

4.5

13

12.12

5.5

15

18.7

6.5

29

26.83

7.5

40

36.55

8.5

49

47.91

9.5

59

60.92

10.33

73

73.00

В соответствии с 7.3.2.1 статистика х2 = 9.74. Критическое значение в соответствии с таблицей 2- Х$9о(®)* = 10.65.

Поскольку статистика меньше критического значения, можно сделать вывод, что данные хорошо согласуются со степенной моделью для уровня значимости 10 %.

Доверительный интервал для р

В соответствии с 7.42 двусторонний доверительный жтереал для |5 с уровнем доверия 90 % имеет вид (1.67:2.49). Так как этот интервал включает эначе*мя больше 1. это указывает на увеличение параметра потока отказов.

Оценка параметра потока отказов

В соответствии с 7.5.2 для (■ 11 лет оценка параметра потока отказов равна 15.74отказы/год,а доверительный интервал с уровнем доверия 90 % имеет вид (12.34: 21.74) (отказы/год).

25

ГОСТ Р 50779.28—2017

Приложение С (справочное)

Байесовский подход к анализу степенной модели

С.1 Общие положения

Методы, представленные в основной части настоящего стандарта, основаны на классическом подходе к получению статистических оценок. Это означает, что параметры степенной модели X и |J рассматривают как фиксированные. но неизвестные. Классический метод, подобный методу «максимального правдоподобия», используют для получения оценок двух указанных параметров на основе наблюдений о суммарных наработках до отказа восстанавливаемого объекта.

Альтернативу классическому подходу составляет подход Байеса. Согласно байесовскому подходу, параметры X и р рассматривают как ненаблюдаемые случайные величины. Эго влияет на этапы процесса определения оценок параметров. В процессе определения оценок параметров степенной модели с помощью подхода Байеса можно выделить следующие этапы.

a)    Выбор закона распределения вероятностей на основе имеющейся информации о каждом из параметров X и (1. выполненный до начала сбора данных. Выбранное распределение вероятностей называют априорным распределением,

b)    Получение наблюдаемых значений суммарных наработок до отказа рассматриваемого восстанавливаемого объекта.

c)    Получение оценок параметров степенной модели, используя апостериорное вероятностное распределение. найденное с помощью теоремы Байеса. Апостериорное распределение отражает знание о параметрах Аир. имеющееся после того, как были собраны интересующие данные.

Значения, соответствующие апостериорному распределению вероятностей, пропорционагъны значениям априорного распределения, умноженным на значения гак называемой «функции правдоподобия», которая отображает меру того, что наблюдаемые значения подчиняются предполагаемому закону распределения (наблюдаемые наработки до отказа подчиняются степенному закону распределения). В общем случае это может быть выражено следующим образом:

апостериорное распределение »• функция правдоподобия * априорное распределение.

В таблице С. 1 представлены признанные достоинства и недостатки байесовского похода к получению оценок параметров в сравнении с классическим подходом. На практике, при применении подхода Байеса, наибольшую озабоченность вызывает выбор априорного распределения. Так как выбор априорного распределения влияет на значения полученных оценок, то должно существовать четкое обоснование выбора априорного распределения, до того как были получены данные испытаний. Оно необходимо для сохранения целостности анализа данных. В противном случае существует серьезный риск того, чго априорное распределение будет использовано для манипулирования данными, путем выбора несоответствующего распределения для получения желаемых оценок параметров. В данном случае, для выбора априорного распределения может быть рекомендовано привлечение независимого аналитика, который на основании информации, полученной от экспертов в соответствующих областях должен провести не менее строгий анализ данных, чем при получении данных в ходе испытаний.

Математическое представление апостериорного распределения зависит от выбора априорного распределения. что оказывает влияние на сложность вычислений при определении оценок. При классическом подходе при определении оценок используют только фукхцию максимального правдоподобия, как показано в основной части стандарта. Для получения байесовских оценок используют различные математические представления и гфоцеду-ры. зависящие от вида априорного и апостериорного распределения. Специалист-аналитик должен дать соответствующие рекомендации по выбору априорного распределения, согласующегося, как с имеющейся технической информацией, так и позволяющего производить необходимые вычисления для получения оценок искомых параметров. Получать байесовские оценки можно с помощью соответствующего программного обеспечения.

Таблица С.1 — Достоинства и недостатки классического и байесовского подходов

Классический подход

Байесовский подход

Достоинства

Хорошо изучен и принят в различных отраслях промышленности

Следует принципу того, что данные должны быть объективными

Учитывает информацию, имеющуюся в наличии до сбора данных

Правомерность применения источников информации для получения априорного распределения может быть отслежена

26

ГОСТ Р 50779.28—2017

Окончание таблицы С. 1

Классический подход

Байесовский подход

Недостатки

Принятые предположения могут не иметь четкого обоснования

Для получения более точных оценок требуются выборки большего объема

Субъективность выбора априорного распределения. приводящая к выбору распределения, влияющего не должным образом на получение апостериорного распределения Сложность вычислений, которые, обычно, не могут быть проведет с помощью аналитических методов

С.2 Байесовские оценки для степенной модели

Рассмотрим степенную модель с параметром потока отказов в момент времени t

z(l) * \ р

Пусть Рг<А_ |)) представляет собой априорную вероятность соответствующих значений параметров X и р. В соответствии с основным содержанием настоящего стандарта, пусть tt представляет собой соответствующую суммарную наработку до /-го отказа восстанавливаемого объекта, где /, < ^ < ... < Следует отметить, что наблюдения I = 1.....N, должны быть сделаны только после того, как будет задана Рг(?„ 8). Апостериорное рас

пределение будет представлять информацию о параметрах условной модели по наблюдаемым наработкам до отказа. Апостериорное распределение обозначают Pr(X. р | f). где X. р | / указывает на условность распределения (для обозначения условности используют символ «|»), при этом вероятности определенных значений X и р зависят от значения наработок до отказов / = 1.....N. Апостериорное распределение представляют следующим образом

Pr(X,P|Q = „*(WffM> ,

}jpr{X.W(r|x.|i)tfXdfl

00

оде /(f|X. р) представляет собой функцию правдоподобия, которая задана при помощи функции условной плотности

совместного распределения вероятностей случайных величин J-. / = 1.....N. при заданных значениях X

ир.

Пусть Т обозначает соответствующую суммарную наработку восстанавливаемого объекта. Функция правдоподобия для процесса, описываемого степенной моделью, задана следующим образом:

/(i|x.p)-xv[n*t)    (С-1)

Примечание 1 — В случае ограничения данных по количеству отказов Г равно

Выбор априорного распределения должен давать представление о характере неопределенности значения оцениваемого параметра. Функциональное представление априорного распределения, обычно, производит специалист-аналитик на основе изучения составляющих проблемной ситуации: информации, получаемой от технических экспертов, имеющих знания о функционировании аналогичных систем; результатов испытаний и других подобного рода данных.

Существует много различных функциональных представлений априорного распределения для степенной модели (см. обзор в {2]). В данном приложении не поставлена задача рассмотрения всех возможных априорных распределений для степенной модели. Здесь представлены два практических примера, иллюстрирующих два различных вида аедиорного распределения и вычисления байесовских оценок для степенной модели. Для прозрачности процесса определения байесовских оценок, дано детальное поэтапное описание каждой моделируемой ситуации.

Примечание 2 — Представленные примеры имеют отношение не только к выбору вида соответствующего априорного распределения. Множество представлений априорного распределения для степенной модели приводит к достаточно сложным вычислениям, требующим участия специалиста, владеющего методами работы с соответствующим программным обеспечением. При выборе априорного распределения опираются на выводы, полученные соответствующим специалисгом-аналитиком.

Априорное распределение должно быть задано до начала проведения сбора данных, хотя в примерах, описывающих различные стадии байесовского анализа, этот период может быть несжольхо скрыт.

27

ГОСТ Р 50779.28—2017

С.З Числовые примеры

С.3.1 Общие сведения

Представленные числовые примеры показывают применение процесса получения байесовских оценок к степенной модели. Существует компьютерное программное обеспечение, позволяющее выполнять требуемые вычисления. Вычисленные значения представлены с четырьмя десятичными знаками. Оба примера следуют обычному формату, который начинается с анализа проблемы, и дальнейшего применения трех стадий байесовского анализа, описанных в С. 1.

Примечание — Этапы анализа представлены в порядке их последующего применения, однако, хорошей практикой является привлечение слециалиста-аналитика для комплексного определения априорного распределения и получения математической модели апостериорного распределения, а также соответствующих оценок параметров.

С.3.2 Получение байесовской оценки увеличения безотказности в период начала функционирования

новой системы

Описание проблемы

Новая система поступила в эксплуатацию, и будет эксплуатироваться непрерывно. Все сбои аппаратного обеспечения, возникшие в период начале функционирования были устранены путем применения соответствующих корректирующих действий. Для определения возрастания безотказности необходимо получать оценки любых изменений параметра потока отказов. Степенная модель обеспечивает правдоподобное представление данной проблемы, так как она может улавливать изменения параметра потока отказов 8 ходе функционирования системы. Специалист, ответственный за функционирование системы, владеет информацией о работе систем подобного вида и результатах, проведенных для их изучения испытаний.

Этап 1. Выбор априорного распределения

Перед вводом системы е эксплуатацию, специалист-аналитик рассматривает будущий процесс функционирования системы и анализирует представленные техническими специалистами предположения о возможных истинных значениях параметров степенной модели. Специалист-аналитик рассматривает возможное математическое представление априорного распределения, до того как сделает выводы о соответствии истине предположений технических специалистов о неопределенности параметров модели.

В рассматриваемом примере, аналитик решает репараметриэовать степенную модель е терминах л = Х7^ исходя из представленных ниже соображений. Во-первых, новый параметр л представляет среднее количество отказов за суммарную наработку Г. что является более значимым для интерпретации и подтверждения выводов. сделанных на основе данных, предоставленных техническими специалистами. Во-вторых, данная репера-метризация позволяет выразить функцию правдоподобия как произведение двух независимых функций, которые поддерживают выводы, полученные путем анализа информации, предоставленной техническими специалистами, а также облегчает проведение необходимых вычислений. Функция правдоподобия, первоначально представленная формулой (С.1). может быть выражена следующим образом:

'(*МвГК‘|р"в    (С.2)

где ЯГ|р)- Gamma[/V + l£»n^] и Рг(л) -Gamma (N = 1.1).

\    /-1 ч )

Примечание 1 — Gamma (а. Ь) обозначает гамма-распределение с параметрами а и Ь. Рг(р) обозначает распределение вероятностей параметра р. Рг(л) обозначает распределение вероятностей параметра л-

Аналитику необходимо выбрать распределение, отражающее предварительные знания о параметрах р и л-В обоих случаях гамма-распределение выбрано по двум причинам. Во-первых, оно обеспечивает гибкость реагирования на характеристики неопределенности априорных значений параметров. Во-вторых, гамма-распределение обеспечивает тах называемое «сопряжение», что позволяет упростить вычисления, необходимые для получения апостериорных оценок.

В предположении, что параметры Рил статистически независимы, неопределенность их истинных значений может быть представлена априорныьы гамма-распределениями:

п(Р) - Gamma(ap6|}) и я{л) - Gamma (ar(brt).    (С.З)

Можно получить значения так называемых «гиперпарамегров» (e^,b^.e(|.bl)) и проверить соответствие гамма-распределения представлению характеристик неопределенности параметров рил. полученных путем анализа информации, предоставленной техническими специалистами. Затем, от новых параметров можно вернуться к обычным параметрам степенной модели X и р. воспользовавшись следующими соотношениями:

ЖЛ. Р)« ЖП)ЖР) - ЖМР)ЖР) - *(>.. Р).    (С.4)

28

ГОСТ Р 50779.28—2017

где я{Х) - Gamma^i^Tfy и совместное априорное распределение является сопряженным.

Один подход х изучению неопределенности параметра $ использует табличный бланк, представленный в таблице С.2а. Данную таблицу заполняет технический эксперт, его просят распределить 20 жетонов, каждый стоимостью 5 %. по классам, представленным в данной таблице, отображающим возможность тога, что скорость роста р принадлежит данному классу. Таблица С.2Ь представляет собой заполненный вариант таблицы С.2а. где эксперт определил, что неопределенность истинного значения $ лежит между 0 и 0.6. при этом соответствующим модальным классом является класс значений 0.3—0.4.

Примечание 2 — Техническому эксперту было сообщено, что не существует точного ответа на заданный ему вопрос, что обеспечило честность суждений относительно неопределенности значений параметров.

ПримечаниеЗ — Количество жетонов и. следовательно, их стоимость выбраны гак, чтобы отражать разбиение данных, соответствующих априорному распределению. Например, стоимость всего распределения составляет 100 %. таким образом, если стоимость одного жетона составляет 5 %, то для получения 100 % необходимо 20 жетонов. Если процентная стоимость жетона падает {возрастает}, то. следовательно, возрастает (уменьшается) количество жетонов.

Примечание 4 — В данном примере возможные значения параметра формы заранее заданы в таблице. Данные значения можно не вносить в таблицу, если существует некоторое опасение, что значения будут воздействовать на действия технического эксперта как некий «якорь*.

Подобный процесс может быть использован для получения оценки среднего значения количества отказов за суммарную наработку Г. Таблица С.За представляет бланк таблицы для параметра «V Во-первых, технический эксперт должен был определить значимые классы диапазона значений п для системы, находящейся в эксплуатации два гада, при этом суммарная наработка системы составила 20000 ч. т. в. Г = 20000 ч. Жетоны были распределены по классам в соответствии с предположениями эксперта, о том, что истинное значение может принадлежать любому классу данной таблицы. Таблица С.ЗЬ представляет собой заполненную экспертом таблицу. Предположение эксперта состоит в том. что истинное значение среднего количества отказов может лежать между 10000 и 100000. медальным классом является класс 300000 отхаэое.

Аналитик должен преобразовать субъективные частоты, представленные в таблицах С.2 и С.З в априорное распределение с соответствующими параметрами. Для получения априорного распределения в соответствии с формулой (С.1) аналитик должен подобрать подходящее гамма-распределение, согласующееся с данными, полученными от технического эксперта. Для субъективных распределений параметров р и ц могут быть использованы стандартные алгоритмы выбора подходящего распределения. Гамма-распределение с параметрами а„ = 6.7956 и Ьр * 1/0,0448 = 22.3214 было найдено для представления субъективного распределения параметра р. Наилучшее приближение субъективного распределения параметра п — среднего количества отказов, произошедших до того как суммарная наработка составила 7 = 20000 ч. дает гамма-распределение с параметрами а = 17.7566 и Ьл = 1/1447.408 = 0.000691.

Выбранное гамма-распределение должно быть проверено на степень согласованности с данными. На рисунках С.1 и С.2 представлены графики двух гамма-распределений. Подобные графики должны быть показаны техническому эксперту для получения его заключения о том. что характеристики функции, используемой для обобщения неопредепеююстей приемлемы. Если это не так. то аналитик должен пересмотреть процесс выбора априорного распределения, для two чтобы убедиться, что учтено мнение технического эксперта.

Примечание 5 — Это может быть проделано при помощи моделирования различных выходов испытаний (например, нет отказов, небольшое когычество отказов или большое количество отказов) и представления данных результатов техническому эксперту.

В таблицах С.4 и С.5 представлены данные о значениях подобранного гамма-распределения и полученных субъективных вероятностях. Их соответствие не является абсолютным, так как оба подобранных гамма-распределения недооценивают модальный класс субъективного распределения, но имеют лучшее соответствие на концах распределения. Данное положение соответствует осторожной стратегии, используемой для выбора априорных параметров. Должны быть вычислены итоговые статистики, такие как математическое ожидание и стандартное отклонение абсолютного отклонения (ошибки) выбранного распределения от субъективного. На основе этих данных аналитик получит возможность выбрать подходящее распределение среди конкурирующих возможных распределений для приближения данных, а также оценить является ли ошибка приближения приемлемой. В данном примере математическое ожидание абсолютной ошибки составило порядка 0,05. что было отнесено к приемлемым значениям.

29

ГОСТ Р 50779.28—2017

Таблица С.2 — Матрица для получения субъективного распределения параметра формы р Таблица С.2а — Незаполненная матрица    Таблица С.2Ь — Заполненная матрица

#

ftMtfc

№~

т

ОЛ

$м-

Роив*

(0-

ОЛ

лг

ал

л»-

«л

Л«~

ол

»0Д

Таблица С.З — Матрица для получения субъективного распределения среднего количества отказов (параметра л) Таблица С.За — Незаполненная матрица    Таблица С.ЗЬ—Заполненная матрица

мм .

шяЫцЬАГ)

8

1

2

&

3

S

3

#

«ммаГчН»4)

0

1

a

г*

»

в

1

10

30

ГОСТ Р 50779.28—2017

рт

Рисунок С.1 — График подобранного гамма-распределения (6,7956; 0,0448) для параметра Форш степенной

модели

Pttri)

Рисунок С.2 — График подобранного гамма-распределения (17,7566; 1447,406) среднего количества отказов для

степенной модели

31

ГОСТ Р 50779.28—2017

Таблица С.4 — Сравнение подобранного априорного гамма-распределения и субъективного распределения для параметра формы р

Интервал возможных значений 0

Субъективное распределение частот

Субъективное

распределение

вероятностей

Подобранное гамма-распределение (6.7956; 0.0446)

Разность значений подобранного гамма-распределения и субъективного распределения

0—0.2

3

0.15

0.1853

-0.0353

0.2—0.3

6

0.30

0.3488

-0.0488

0.3—0.4

в

0.40

0.2726

0.1274

0.4—0.6

3

0.15

0.1758

-0.0258

>0.6

0

0

0.0175

-0.0175

Математическое ожидание абсолютной ошибки

0.0501

Стандартное отклонение

0.0722

Таблица С.5 — Сравнение подобранного априорного гамма-распределения и субъективного распределения для количества отказов за время Г = 20000 ч (параметра П)

Интервал возможных значений для т)

Субъективное распредепе* кие часто?

Субъективное

распределение

вероятностей

Подобранное тамма-рас-прелепекие <17,7566. 1447.406)

Разность значений подобранною гамма-распределения и субъективного распределения

0—10000

2

0.10

0.0004

0.0996

10000—20000

3

0.15

0.1748

-0.0248

20000—25000

4

0,20

0.3103

-0.1102

25000—30000

6

0.30

0.2871

0.0129

30000—50000

3

0.15

0.2269

-0.0769

50000—80000

1

0.05

0.0006

0.0494

80000—100000

1

0.05

0

0.0500

Математическое ожидание абсолютной ошибки

0.06065

Стандартное отклонение

0.0749

Этап 2. Получение данных в процессе испытаний

В таблице С.б представлены суммарные наработки до соответствующих отказов для каждого аппаратного элемента системы, подвергавшегося корректирующим действиям за первые два года работы системы. Суммарная наработка системы составила Т = 20000 ч.

Таблица С.б — Наработки до отказа, полученные в процессе испытаний системы

Наименование

элемента

Количество

отказов

Суммарная наработка до отказа

А

4

34 ч.. 1876 ч.. 11143 ч.. 12429 ч

В

2

10910 ч.. 12241 ч.

С

1

1719ч.

D

3

798 ч.. 1634 ч.. 2692 ч.

Е

1

156 ч.

F

2

384 ч.. 1078 ч.

G

1

415ч.

Н

2

11785 ч.. 20200 ч.

32

ГОСТ Р 50779.28—2017

Окончание таблицы С. б

Наименование

элемента

Количество

отказов

Суммарная наработка до отказа

1

5

1 ч. 32 ч. 2878 ч. 15973 ч. 18840 ч

j

1

1 ч

к

1

1235 ч

L

1

8286 ч

М

2

862 ч. 2074 ч

N

5

158 ч. 546 ч. 2828 ч. 2971 ч, 12961 ч

О

3

4102 ч. 6523 ч. 13576 ч

Р

1

15ч. 178ч

Q

4

700 ч. 1647 ч. 4121 ч. 12464 ч

R

5

18 ч. 45 ч. 575 ч. 611 4.13994 ч

S

8

5 ч. 11 ч. 226 ч. 1991 ч. 3069 ч. 3989 ч. 5589 ч. 16850 ч

Этап 3. Байесовские оценки параметров, полученные по апостериорному распределению На основе выбранного априорного распределения и данных испытаний получают апостериорное распределение. на основе которого затем определяют байесовские оценки параметров степенной модели. Для степенной модели, с заданной формулой (С.1) функцией правдоподобия и априорным распределением, заданным формулой (С.4). апостериорное распределение имеет следующий вид:

Яг(Х,р|() = Gamma|a|, + W.ifc + £ln-^-jxGamma(34 + W.b„ +l).    (C.5)

Из таблицы C.6 следует, что общее количество отказов N ■ 52. В соответствии с оценками параметров, по подобранным гамма-распределениям и. соответственно, формуле (С.5) для параметров апостериорного распределения получают следующие оценки:

вр + N = в .7956 + 52 = 58.7956.

» Т

+ £ Ш - = 22.2816 + 146.4663 = 168.7499.

.-1 fi

вч + N - 17,7566 + 52 = 69.7566.

+ 1 = 0.000691 + 1 = 1.000691.

Байесовская оценка параметра формы р имеет вид:

58.7956

, + 1'п-

Т 168.7499

= 0.3484.

г-1    *•

Байесовская оценка параметра т| имеет вид:

- =    69.7566 =    085

б„ + 1    1000691

(С.6)

откуда:

i

_П_

т*

69.7085

20000°

■ 2.2117.

(С.7)

Заключительные замечания

В таблице С.7 представлены оценки параметров, полученные с помощью байесовского и классического подходов. Процесс получения классических оценок здесь не представлен, но он содержит этапы, подобные этапам, приведенным в основной части настоящего стандарта. Оцемси. полученные с помощью обоих подходов. показывают, что значение параметра потока отказов системы уменьшается с увеличением суммарной наработки, что согласуется с ростом безотказности системы. Байесовская оценка повышения безотказности выше.

33

ГОСТ Р 50779.28—2017

чем классическая оценка, так как априорное гамма-распределение для параметра формы влияет на оцениваемое значение параметра, также как и данные испытаний.

Выбор функционального представления априорного распределения, методы, используемые для выявления и подтверждения субъективных вероятностей и подход, используемый для подбора параметрического распределения имеет важное значение, так как оказывает влияние на получаемые оценки. В данно*( примере, априорное распределение влияет на байесовский параметр формы. Правдоподобие всех предположений, сделанных в ходе анализа, должно быть обосновано.

Таблица С.7 — Оценки параметров степенной модели

Параметр

Байесовская оценка

Классическая оценка

Р

0.3484

0.3467

2.

2.2117

1.6715

С 3.3 Байесовский прогноз количества отказов функционирующей системы

Описание проблемы

Необходимо определить оценку среднего количества отказов, которые произойдут за следующие 6000 ч. работы системы, после того, как система уже функционировала 10000 ч. Для описания характера возможного изменения параметра потока отказов, с течением календарного времени, выбрана степенная модель. Технические сведения об эксплуатационных требованиях и техническом обслуживании будут использованы специалистом-аналитиком при выборе априорного распределения вероятного количества и связанной с этим неопределенности.

Этап 1. Выбор априорного распределения

Аналитик запрашивает у технического эксперта данные о характерном количестве отказов, которое он ожидал к 10000 часам функционирования системы с учетом разброса этого значения.

Согласно предположениям технического эксперта, в среднем, может произойти 30 отказов. При этом, технический эксперт, сделал предположение, что вероятность того, что произойдет менее пяти или более 85 отказе», очень мала. Приблизительный вид распределения количества отказов, согласно информации, полученной от технического эксперта, представлен на рисунке С.З.

Вврмтвжгь

Рисунок С.З — Субъективное распределение количества отказов

Аналитику необходимо преобразовать информацию о субъективном распределении в математическое представление априорного распределения. Задачей аналитика является выбор математического представления распределения, которое как соответствует субъективному распределению, полученному по предположения*! технического эксперта, так и позволяет производить вычисления, необходимые для получения оценок параметров. Принятый подход состоит в репа раме гриэации степенной модели, с помощью функции параметра потока отказов:

2

где в = >.'Р и совместная вероятность £ и в имеет вид:

Рг{вДэ.6.Г)*д(Р)

Р 6*

вГ(а)

(?Г”Ф

(С.8)

(С.9)

34

ГОСТ Р 50779.28—2017

где у{р) — априорное распределение р и Г(.) обозначает гамма-функцию. Данный вид априорного распределения был предложен несколькими авторами (см. [3]) и аналитиками, считающими, что он достаточно гибок для распознавания характера неопределенности среднего количества отказе», предложенного техническим специалистом. Гиперпарамегры априорного распределения, представленные в формуле (С.9). а. Ь для наработки Т. могут быть получены путем анагыза информации, предоставленной техническим специалистом. Аналитик может непосредственно взять 30 отказов в качестве математического ожидания гамма-распределения. Стандартное отклонение характеризует разброс данных, а для ассиметрич-ных распределений, таких, как представленное на рисунке С.З. стандартное отклонение приблизительно равно четверти размаха данных. Так как размах среднего количества отказов, по предположениям технического эксперта составляет 85 - 5 * 80. то стандартное отклонение равно 20.

Так как математическое ожидание и стандартное отклонение гамма-распределения могут быть соотнесены с его параметрами, получаем значения е и Ь:

a s мат.ожид.2 _ 30^ _ 2 2S fl= магожид. =_30 =0()75 дисперсия 202    дисперсия 20*

Аналитик может построить график функции гамма-распределения с параметрами (2.25; 0,075} и предложить техническому специалисту удостовериться, что данное распределение согласуется с его предположениями. Если выбраютов распределение не согласуется с мнением технического эксперта, аналитик должен пересмотреть выбор априорного распределения.

Для погмого определения совместного распределения, заданного формулой (С.9) в соответствии с предположениями технического специалиста определяют распределение параметра формы 8- путем анализа изменений параметра потока отказов. Технический эксперт уверен, что значение параметра потока отказов не будет возрастать с ростом значений суммарной наработки, но будет ли более вероятным убывание значения параметра потока отказов или его константное состояние, технический эксперт прогнозировать не может. Аналитик на основе данной информации выбрал равномерное распределение при 0.5 < р < 1:

9(р)=оТ

так как для данной функции не важны значения параметра формы, не соответствующие невозрастанию значения параметра потока отказов.

Этап 2. Получение данных 8 процессе испытаний

Данные об отказах получены в процессе испытаний. За 10000 часов суммарной наработки получено 30 соответствующих отказов (N = 30). Суммарные наработки до отказов приведены в таблице С.8.

Этап 3. Байесовские оценки параметров, полученные по апостериорному распределению

Для степенной модели данных, при выбранном априорном распределении, можно получить и представить прогноз среднего количества отказов М для временного интервала в будущем, обозначенного как: (f^, lN + 5)

1    «!Г(а)    '    |1М*+(<лг+*?Т*м**[

(C.10)

где N — это количество полученных отказов за заданную наработку    и с — нормирующая константа, за-

данная следующим образом;

с

Подстановка соответствующих дажых в формулу для априорного распределения и применение формулы (С.10) к данным испытаний дает апостериорное распределение количества отхаэов для интервала времени в будущем. так, если наработка к последнему полученному отказу составила 8690 часов, fjo = (8690. <эо * s s 8690 * 6000). то

Pr(W|t} =

сО, 0752гб Г(30 + М + 2.25) ^ _1„зо 1 gooo22511

J 2Г0

M!(225)

[{8690 + 6000)9 - 8690s]

м

[0.075(10000)'' + (8690 + 6000f J30 ‘    *

где u= fp. = 3.7463 10,OT и c= [3.5887 • 1&-20]И j-i

35

ГОСТ Р 50779.28—2017

Таблица С.8 — Наработка до отказа системы 8 эксплуатации

Порядковый номер отказа

Суммарная наработка до отказа

1

860

2

1258

3

1317

4

1422

5

1В97

6

2D11

7

2122

8

2439

9

3203

10

3298

11

3902

12

3910

13

4000

14

4247

15

4411

16

4456

17

4517

18

4В99

19

4910

20

5676

21

5755

22

6137

На рисунке С.4 представлены апостериорные вероятности количества отказов за следующие 6000 часов функционирования системы М. На рисунке С.5 представлена кумулятивная функция апостериорного распределения вероятностей количества отказов за следующие 6000 часов функционирования системы. Апостериорное распределение имеет математическое ожидание равное 18.24. что с наибольшей вероятностью предполагает 19 отказов за следующие 6000 часов функционирования системы. По апостериорному распределению также можно получить 95 %-ные границы для количества отказов. Например, верхняя 95 %-ная граница соответствует 95 %-ному процен тилю апостериорного распределения, который соответствует значению 28. Это означает, что только в 5 % случаев за следующие 6000 часов функционирования системы количество отказов будет превосходить значение 28.

36

ГОСТ Р 50779.28—2017

PW

Рисунок С.4 — График апостериорного распределения вероятностей количества отказов М

Куищи11Ш1иро*шоеП|

Рисунок С.5 — График кумулятивной функции апостериорного распределения вероятностей количества отказов М

С.4 Резюме

Цель данного приложения и представленной в нем информации — логическое обоснование применения байесовского подхода к получению оценок для параметра степенной модели. Байесовский подход позволяет аналитику использовать при разработке модели предварительную информацию в комбинации с данными, полученными в процессе испытаний. Тогда как. при классическом подходе, как показано в основной части настоящего стандарта, используют только данные о наработках до отказа, полученные в ходе испытаний.

Примеры, представленные в данном приложении, указывают на необходимость понимания процесса байесовского анализа. К процессу байесовского анализа следует привлекать аналитика, хорошо разбирающегося в нем. так как построение моделей в этом случае имеет бопее сложный характер, чем при классическом анализе.

Байесовские методы могут быть очень мощными и поэтому требуют большей осторожности при использовании В частности, соответствующая информация, используемая для выбора априорного распределения должна быть полностью обоснованной и доступной для исследования, что поддерживает целостность анализа данных.

37

ГОСТ Р 50779.28—2017

Приложение ДА (справочное)

Сведения о соответствии ссылочных национальных стандартов международным стандартам, использованным в качестве ссылочных в примененном международном стандарте

Таблица ДА.1

Обозначение ссылочного национального стандарта

Степень

соответствия

Обозначение и наименование соответствующего международною стандарта

ГОСТ Р 50779.10—2000 (ИСО 3534-1:93)

ют

ISO 3534-1:1993 «Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Вероятность и основные статистические термины»

Примечание — В настоящей таблице использовано следующее условное обозначение степени соответствия стандарта:

- IDT — идентичный стандарт.

38

ГОСТ Р 50779.28—2017

Библиография

(1]    CROW, L.H.. 1974, Reliability Analysis for Complex Repairable Systems. Reliability and Biometry, ed. F. Proschan and RJ Serfting. pp. 379-410. Philadelphia. PA.SIAM

(2]    RIGDON, S.E. and BASU. A.P.. 2000 Statistical Methods for the Reliability of Repairable Systems. John Wiley

(3]    BEISER J.A. and RIGDON. S.E.. 1997 Bayes Prediction for the Number of Failures of a Repairable System. IEEE Transactions on Reliability. Vbl 46. No. 2. pp 291-295

39

ГОСТ Р 50779.28—2017

УДК 658.562.012.7:65.012.122:006.354    ОКС 03.120.30    Т59

Ключевые слова: степенная модель, критерий согласия, точечная оценка, доверительный интервал, параметр потока отказов, предикционный интервал, восстанавливаемый объект, испытания с ограни* ченной продолжительностью, испытания с ограниченным количеством отказов

БЗ 9—2017/116

Редактор И.В. Львова Технический редактор И.Е. Чврелковз Корректор И.А Королева Компьютерная верстка Е.О. Асташина

Сдано в набор 14.08.2017. Подписано в печать 31.08.2017. Формат 60»84'/g. Гарнитура Ариал Уел. леч. л. 5.12. Уч.*иад. л. 4,80. Тираж 22 эо Зак. 1570.

Подготовлено на основе электронной версии, предоставленной разработчиком стандарта

Издано и отпечатано во ФГУП «СТАНДАРТИНФОРМ», 123001 Москва, Гранатный лер.. 4 wwi*r.gostinlb.ni infbQgoslinfo.ru