ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008
Группа Т80
НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ
Часть 3
Руководство по выражению неопределенности измерения
Дополнение 1
Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло
Uncertainty of measurement. Part 3. Guide to the expression of uncertainty in measurement. Supplement 1. Propagation of distributions using a Monte Carlo method
ОКС 17.020
Дата введения 2012-10-01
Предисловие
Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-ФЗ "О техническом регулировании", а правила применения национальных стандартов Российской Федерации - ГОСТ Р 1.0-2004 "Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения"
Сведения о стандарте
1 ПОДГОТОВЛЕН Федеральным государственным унитарным предприятием "Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д.И.Менделеева" (ФГУП "ВНИИМ") и Автономной некоммерческой организацией "Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем" (АНО "НИЦ КД") на основе собственного аутентичного перевода на русский язык международного документа, указанного в пункте 4
2 ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции"
3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 16 ноября 2011 г. N 555-ст
4 Настоящий стандарт идентичен международному документу Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008* "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло" [ISO/IEC Guide 98-3:2008/Supplement 1:2008 "Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) - Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method"].
________________
* Доступ к международным и зарубежным документам, упомянутым в тексте, можно получить, обратившись в Службу поддержки пользователей. - .
В стандарт введены технические изменения 1, подготовленные техническим управляющим комитетом (ТМВ) ИСО, которые выделены двойной вертикальной линией, расположенной слева от соответствующего текста.
При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные и межгосударственные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА
5 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ
Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты", а текст изменений и поправок - в ежемесячно издаваемых информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет
Введение
0.1 Общие сведения
В настоящем стандарте рассматривается трансформирование распределений для заданной математической модели измерений [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.1.6)] с целью получения оценки неопределенности измерений и реализация этой процедуры методом Монте-Карло. Метод применим к моделям с произвольным числом входных величин и единственной выходной величиной.
Метод Монте-Карло является практической альтернативой способу оценки неопределенности по GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.4.8)]. Метод имеет особое значение, когда:
a) линеаризация модели не обеспечивает ее адекватного представления;
b) распределение выходной величины, например вследствие своей выраженной асимметрии, не может быть описано нормальным распределением (распределением Гаусса) или масштабированным смещенным
В случае а) оценки выходной величины и соответствующей стандартной неопределенности, полученные в соответствии с GUM, могут оказаться недостоверными. В случае b) при оценке неопределенности могут быть получены недостоверные интервалы охвата (обобщение понятия расширенной неопределенности, используемого в GUM).
GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.4.8)] "...устанавливает общую методологию оценивания неопределенности...", основанную на использовании закона трансформирования неопределенностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (раздел 5)], когда выходная величина подчиняется нормальному распределению или масштабированному смещенному
1) наилучших оценок входных величин;
2) стандартных неопределенностей оценок входных величин;
3) числа степеней свободы для стандартных неопределенностей оценок входных величин;
4) всех ненулевых ковариаций пар этих оценок.
Кроме того, полученная плотность распределения вероятностей выходной величины позволяет определить для выходной величины интервал охвата с заданной вероятностью.
Наилучшие оценки входных величин, их стандартные неопределенности, ковариации и числа степеней свободы представляют собой ту информацию, которая необходима для применения метода расчета неопределенности по GUM. Метод, устанавливаемый настоящим стандартом, основан на использовании плотностей распределения вероятностей входных величин для последующего расчета плотности распределения вероятностей выходной величины.
В то время как для применения способа оценивания неопределенности по GUM существуют некоторые ограничения, трансформирование распределений всегда позволяет получить плотность распределения вероятностей выходной величины на основе распределений входных величин. Плотность распределения вероятностей выходной величины представляет собой выражение знания об этой величине, полученного на основе знаний о входных величинах в виде сопоставленных им распределений. После получения плотности распределения вероятностей выходной величины могут быть определены математическое ожидание, используемое в качестве оценки выходной величины, и стандартное отклонение, используемое в качестве стандартной неопределенности этой оценки. Кроме того, плотность распределения вероятностей может быть использована для получения интервала охвата для выходной величины, соответствующего заданной вероятности.
Использование плотностей распределения вероятностей в соответствии с настоящим стандартом в основном согласуется с принципами GUM. Плотность распределения вероятностей величины отражает состояние знаний об этой величине, т.е. она численно определяет степень доверия тем значениям, которые могут быть приписаны упомянутой величине на основе доступной информации. Информация обычно состоит из необработанных статистических данных, результатов измерения, научных выводов, профессиональных суждений.
Для построения плотности распределения вероятностей случайной величины на основе наблюдений может быть применена теорема Байеса [27, 33]. Информация о систематических эффектах может быть преобразована в соответствующую плотность распределения вероятностей на основе принципа максимума энтропии [51, 56].
Трансформирование распределений имеет более широкую область применения, чем способ оценивания неопределенности по GUM. Метод трансформирования распределений использует более обширную информацию, чем та, что содержится в наилучших оценках и соответствующих стандартных неопределенностях (а также в числах степеней свободы и ковариациях).
Исторический обзор приведен в приложении А.
Примечание 1 - В GUM рассматривается случай, когда линеаризация модели измерения неприменима [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)]. Однако это рассмотрение ограничено использованием только основных нелинейных членов в ряде Тейлора для функции измерения, а также предположением о нормальности распределения входных величин.
Примечание 2 - Строго говоря, в GUM
Примечание 3 - Плотность распределения вероятностей не следует понимать в смысле частотного описания вероятности.
Примечание 4 - "Оценивание неопределенности нельзя рассматривать как типовую задачу, требующую применения стандартных математических процедур. От пользователя требуется детальное знание природы измеряемой величины и процедуры измерения. Поэтому качество оценки неопределенности, приписанной результату измерений, зависит, в конечном счете, от понимания, критического анализа и профессиональной добросовестности всех лиц, принимающих участие в ее получении" [17].
0.2 Основные сведения о JCGM
В 1997 г. семью международными организациями, подготовившими в 1993 г. "Руководство по выражению неопределенности измерения" (GUM) и "Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины" (VIM), был образован Объединенный комитет по руководствам в метрологии (JCGM), возглавляемый директором Международного бюро мер и весов (МБМВ), который принял на себя ответственность за указанные документы от Технической консультативной группы по метрологии (ИСО/ТАГ 4).
Учредителями JCGM, помимо МБМВ, являются Международная электротехническая комиссия (МЭК), Международная федерация клинической химии и лабораторной медицины (МФКХ), Международное сотрудничество по аккредитации лабораторий (ИЛАК), Международная организация по стандартизации (ИСО), Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК), Международный союз теоретической и прикладной физики (ИЮПАП) и Международная организация по законодательной метрологии (МОЗМ).
В рамках JCGM созданы две Рабочие группы (РГ). Задачей РГ 1 "Выражение неопределенности измерения" является содействие использованию Руководства (GUM), подготовка дополнений к Руководству и иных документов, способствующих его широкому применению. Задачей РГ 2 "Рабочей группы по Международному словарю основных и общих терминов в метрологии (VIM)" является пересмотр VIM и содействие его применению. Более подробную информацию о деятельности JCGM можно найти на сайте www.bipm.org.
Дополнения к GUM, подобные тому, что положен в основу настоящего стандарта, имеют целью распространить руководство на те аспекты, которые в этом руководстве в полной мере не отражены. При этом, однако, разрабатываемые дополнения соответствуют, насколько это возможно, общей методологии, изложенной в GUM.
1 Область применения
В настоящем стандарте установлен численный метод, согласующийся с основными принципами GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)] и предназначенный для получения оценки неопределенности измерения. Этот метод может быть применен к любым моделям, имеющим единственную выходную величину, в которых входные величины характеризуются любыми заданными функциями распределения вероятностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.4, G.5.3)].
Также как GUM, настоящий стандарт посвящен вопросам определения выражения для неопределенности измерения хорошо определенной физической величины, характеризуемой единственным значением [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (1.2)].
В настоящем стандарте установлены также методы, применимые в ситуациях, когда условия применения способа расчета неопределенности по GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.6.6)] не выполняются или информация об их выполнении отсутствует. Стандарт также может быть применен в ситуациях, когда возникают трудности при оценке неопределенности по GUM, например вследствие сложности модели. Методы изложены в виде, облегчающем их программирование для расчетов на компьютере.
Настоящий стандарт может быть использован для определения плотности распределения вероятностей выходной величины, что позволяет получить:
a) оценку выходной величины;
b) стандартную неопределенность, ассоциированную с этой оценкой;
c) интервал охвата для выходной величины, соответствующий заданной вероятности охвата.
При заданных (i) модели, описывающей взаимосвязь входных величин с выходной величиной, и (ii) плотностях распределения вероятностей входных величин существует единственная плотность распределения вероятностей выходной величины. Как правило, последняя не может быть определена аналитически. Настоящий стандарт позволяет определить величины, указанные в перечислениях а), b) и с) с приемлемой точностью, не используя приближений, которые нельзя оценить количественно.
Настоящий стандарт позволяет получить интервал охвата для заданной вероятности охвата, в том числе вероятностно симметричный и наименьший интервалы.
Настоящий стандарт применим к статистически независимым входным величинам с соответствующими функциями плотности распределения вероятностей, а также к статистически зависимым случайным величинам, описанным совместной плотностью распределения.
Как правило, настоящий стандарт применяют в случаях, когда:
- вклад разных составляющих неопределенности может быть существенно неодинаков [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.2.2)];
- трудно или неудобно находить частные производные от функции измерения, как того требует закон трансформирования неопределенностей;
- распределение выходной величины нельзя считать ни нормальным, ни масштабированным смещенным
- оценка выходной величины и соответствующая стандартная неопределенность имеют приблизительно одинаковое значение [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.2.1)];
- модель является достаточно сложной [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)];
- плотности распределения вероятностей входных величин асимметричны [Руководство ИСО/МЭК 98-3(G.5.3)].
Прежде чем применять метод, установленный настоящим стандартом, рекомендуется проверить, позволяют ли условия измерительной задачи использовать способ оценивания неопределенности по GUM. Если условия позволяют, то основным методом расчета остается оценивание неопределенности способом, установленным в GUM.
Значение для неопределенности измерений, как правило, достаточно приводить с одной или двумя значащими цифрами. Методы, установленные настоящим стандартом, позволяют получить оценки с указанной точностью.
Применение стандарта иллюстрировано подробными примерами.
Настоящий стандарт служит дополнением к GUM и должен быть использован вместе с ним. Он не исключает использования других методов расчета неопределенности, не противоречащих GUM.
Примечание 1 - Настоящий стандарт неприменим к моделям, описываемым многозначными функциями (например, в виде решения квадратного уравнения без указания, какой из корней должен быть выбран).
Примечание 2 - В настоящем стандарте не рассмотрен случай, когда априорно известна плотность распределения вероятностей выходной величины, однако установленный в нем метод может быть модифицирован и для этой ситуации [16].
2 Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие документы:
Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения (GUM:1995)[ISO/IEC Guide 98:2008, Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995)]
Руководство ИСО/МЭК 99:2007 Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM) [ISO/IEC Guide 99:2007 International vocabulary of metrology - Basic and general concepts and associated terms (VIM)]
3 Термины и определения
В настоящем стандарте применены термины по Руководству ИСО/МЭК 98-3 и Руководству ИСО/МЭК 99, некоторые из которых (при необходимости, модифицированных) приведены в настоящем разделе.
Обозначения, использованные в настоящем стандарте, приведены в приложении G.
3.1 распределение (вероятностей) (probability distribution): Функция, устанавливающая вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к заданному множеству значений.
Примечание - Сумма вероятностей принятия случайной величиной всех возможных значений равна 1.
[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.3, Руководство ИСО/МЭК 98-3, словарная статья С.2.3]
Примечание 1 - Распределение вероятностей называется одномерным, если оно описывает поведение единственной (скалярной) случайной величины, и многомерным, если оно описывает поведение вектора случайных величин. Многомерное распределение вероятностей описывается также совместным распределением этих случайных величин.
Примечание 2 - Распределение вероятностей может быть представлено в виде функции распределения и плотности распределения вероятностей.
3.2 функция распределения (вероятностей) (distribution function): Функция, устанавливающая для каждого значения
[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.4; Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008, словарная статья С.2.4]
3.3 плотность распределения (вероятностей) (probability density function): Первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной величины
Примечание -
[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.5; Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008, словарная статья С.2.5]
3.4 нормальное распределение (вероятностей) (normal distribution): Распределение вероятностей непрерывной случайной величины
Примечание -
[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.37; Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008, словарная статья С.2.14]
Примечание - Нормальное распределение называют также распределением Гаусса.
3.5
где
3.6 математическое ожидание (expectation): Характеристика случайной величины, которая для непрерывной случайной величины
Примечание 1 - Не всякая случайная величина имеет математическое ожидание.
Примечание 2 - Математическое ожидание случайной величины
3.7 дисперсия (variance): Характеристика случайной величины, которая для непрерывной случайной величины
Примечание - Не всякая случайная величина имеет дисперсию.
3.8 стандартное отклонение (standard deviation): Положительный квадратный корень из дисперсии
3.9 момент порядка
Примечание 1 - Центральным моментом порядка
Примечание 2 - Математическое ожидание
3.10 ковариация (covariance): Характеристика двух случайных величин, которая в случае непрерывных случайных величин
Примечание - Не все пары случайных величин имеют ковариацию.
3.11 матрица неопределенности (uncertainty matrix): Матрица размерности
Примечание 1 - Матрица неопределенности
где
Примечание 2 - Ковариации также можно трактовать как совместные неопределенности.
Примечание 3 - Матрицу неопределенности также называют матрицей ковариации или дисперсионно-ковариационной матрицей.
3.12 интервал охвата* (coverage interval): Интервал, построенный на основе имеющейся информации и содержащий значение случайной величины с заданной вероятностью.
_______________
* В отечественных нормативных документах интервал охвата иногда называют интервалом неопределенности.
Примечание 1 - Интервал охвата иногда называют байесовским интервалом.
Примечание 2 - В общем случае для заданной вероятности существует более одного интервала охвата.
Примечание 3 - Интервал охвата не следует называть доверительным интервалом, чтобы избежать путаницы с термином, имеющим строгую статистическую интерпретацию [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (6.2.2)].
Примечание 4 - Данное определение отличается от определения, приведенного в Руководстве ИСО/МЭК 99, поскольку в настоящем стандарте не использован термин "истинное значение" по причинам, изложенным в GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (Е.5)].
3.13 вероятность охвата (coverage probability): Вероятность того, что значение случайной величины находится в границах интервала охвата.
Примечание - Вероятность охвата иногда называют уровнем доверия [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (6.2.2)].
3.14 длина интервала охвата (length of a coverage interval): Разность наибольшего и наименьшего значений интервала охвата.
3.15 вероятностно симметричный интервал охвата (probabilistically symmetric coverage interval): Интервал охвата, для которого вероятность того, что значение случайной величины меньше наименьшего значения (нижней границы) интервала охвата, равна вероятности того, что значение случайной величины больше наибольшего значения (верхней границы) интервала.
3.16 наименьший интервал охвата (shortest coverage interval): Интервал охвата, имеющий наименьшую длину среди всех возможных интервалов охвата для данной случайной величины с одинаковой вероятностью охвата.
3.17 трансформирование распределений (propagation of distributions): Метод, используемый для определения функции распределения выходной величины на основе функций распределения входных величин, от которых выходная величина зависит функционально.
Примечание - Метод может быть аналитическим или численным, точным или приближенным.
3.18 способ оценивания неопределенности по GUM (GUM uncertainty framework): Применение закона трансформирования неопределенностей и описание выходной величины с помощью нормального распределения или масштабированного смещенного
3.19 метод Монте-Карло (Monte Carlo method): Метод трансформирования распределений на основе моделирования случайных выборок из этих распределений.
3.20 предел погрешности вычисления (numerical tolerance): Половина длины наименьшего интервала, содержащего все числа, отражающие результат вычислений, которые могут быть корректно представлены заданным числом значащих цифр.
Пример - При использовании в представлении результата вычисления двух значащих цифр записи 1,8 соответствуют все числа более 1,75 и менее 1,85. Тогда предел погрешности вычисления будет равен (1,85-1,75)/2=0,05.
Примечание - Расчет предела погрешности вычисления - см. 7.9.2.
4 Соглашения и условные обозначения
В настоящем стандарте использованы следующие соглашения и условные обозначения.
4.1 Математическая модель измерения [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1)] одномерной (скалярной) величины может быть представлена в виде функции
где
Примечание 1 - В настоящем стандарте один и тот же символ использован для физической величины и случайной величины, которая эту величину представляет [см. Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1.1, примечание 1)].
Примечание 2 - Хотя многие модели измерений могут быть представлены формулой (1), более общим представлением является
где
4.2 Настоящий стандарт отступает от обозначений, часто используемых для обозначения плотностей распределения вероятностей и функций распределения [24]. В GUM одно и то же обозначение
Примечание - Определения, приведенные в разделе 3, даны в соответствии с изложенным соглашением об обозначениях.
4.3 В настоящем стандарте плотности распределения вероятностей могут быть определены для скалярной
4.4 Плотность распределения вероятностей векторной случайной величины
4.5 Плотность распределения вероятностей нескольких случайных величин часто называют совместной, даже если все входные величины являются независимыми.
4.6 Если элементы
4.7 Плотность распределения вероятностей и функцию распределения для
4.8 В настоящем стандарте случайную величину обозначают прописной буквой, а ее математическое ожидание или оценку - соответствующей строчной буквой. Например, оценку величины
Примечание - Символ с "крышкой" в литературе по математической статистике используют для обозначения оценки.
4.9 В настоящем стандарте термин "закон трансформирования неопределенностей" используют в смысле аппроксимации функции измерения рядом Тейлора первого порядка. Этот термин также может быть применен при использовании разложения в ряд более высокого порядка.
4.10 Подстрочный индекс "с" для суммарной стандартной неопределенности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.1)] в настоящем стандарте рассматривается как излишний. Стандартная неопределенность оценки у выходной величины
4.11 В настоящем стандарте использованы термины "интервал охвата" и "вероятность охвата". В GUM в качестве синонима "вероятности охвата" использован термин "уровень доверия" с предупреждением, что это не то же самое, что "доверительная вероятность" [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (6.2.2)], поскольку последний термин имеет специальное определение в математической статистике. Т.к. в некоторых языках перевод с английского терминов "уровень доверия" и "доверительная вероятность" совпадает, в настоящем стандарте термин "уровень доверия" не используется.
4.12 Для обозначения десятичной дроби используется запятая*.
_______________
* В оригинале на английском языке в данном подразделе указывается на использование в качестве десятичного знака точки вместо запятой.
4.13 Если не определено иначе, то числа представляют с заданным количеством значащих цифр.
Пример - Числа 0,060, 0,60, 6,0 и 60 представлены с точностью до двух значащих цифр. В этом случае запись с точностью только до одной значащей цифры: 0,06, 0,6, и 6·10
4.14 Некоторые символы, использованные в настоящем стандарте, имеют более одного значения (см. приложение G). Однако их смысл понятен из контекста.
4.15 В настоящем стандарте использованы следующие сокращения:
CGPM - Генеральная конференция по мерам и весам;
IEEE - Институт инженеров электротехники и электроники;
JCGM - Объединенный комитет по руководствам в метрологии;
GUM - Руководство по выражению неопределенности измерения;
VIM - Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины.
5 Общие принципы
5.1 Основные этапы оценки неопределенности
5.1.1 Основные этапы оценки неопределенности включают в себя формулировку измерительной задачи, трансформирование распределений и получение окончательного результата:
a) формулировка измерительной задачи включает в себя:
1) задание выходной величины
2) выявление входных величин
3) составление модели измерения, определяющей взаимосвязь
4) приписывание распределений вероятностей (нормального, прямоугольного и т.д.) входным величинам
b) трансформирование распределений предусматривает определение плотности распределения вероятностей выходной величины
c) получение окончательного результата предполагает использование плотности распределения вероятностей выходной величины
1) оценки математического ожидания величины
2) оценки стандартного отклонения величины
3) интервала охвата для величины
Примечание 1 - В некоторых случаях оценка выходной величины в виде математического ожидания может оказаться неприемлемой [см. Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1.4)].
Примечание 2 - Некоторые величины, например подчиняющиеся распределению Коши, не имеют математического ожидания и стандартного отклонения. Однако интервал охвата для выходной величины всегда может быть построен.
5.1.2 При оценке неопределенности по GUM функции распределения входных величин в явном виде не используют. Однако в соответствии с Руководством ИСО/МЭК 98-3 (3.3.5) "...стандартную неопределенность типа А рассчитывают по плотности распределения вероятностей,... полученной из распределения частот..., а стандартную неопределенность типа В - по предполагаемой плотности распределения вероятностей, отражающей степень уверенности в появлении того или иного события.... Оба подхода используют общепринятые интерпретации понятия вероятности".
Примечание - Трактовка распределения вероятностей при определении оценки неопределенности типа В характерна для байесовского анализа [21, 27]. В настоящее время продолжаются исследования [22] границ применимости формулы Уэлча-Саттертуэйта для расчета числа степеней свободы, приписываемых стандартной неопределенности.
5.1.3 Формулировку измерительной задачи осуществляет метролог с возможным участием специалиста в той области знаний, в которой проводят измерение. В настоящем стандарте приведены рекомендации по выбору плотности распределения вероятностей [стадия 4) этапа а) в соответствии с 5.1.1] для некоторых общих случаев (см. 6.4). Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов [б) и в) в соответствии с 5.1.1], для которых приведены подробные указания, не требуют дополнительной метрологической информации и могут быть выполнены с любой допустимой точностью для поставленной задачи.
Примечание - Как только этап постановки задачи а) в соответствии с 5.1.1 выполнен, тем самым плотность распределения вероятностей для выходной величины формально полностью определена. Однако вычисление математического ожидания, стандартного отклонения и интервала охвата может потребовать применения численных методов, обладающих некоторой степенью приближения.
5.2 Трансформирование распределений
В настоящем стандарте рассматривается общий эффективный способ определения (численным методом) функции распределения случайной величины
Этот способ основан на применении метода Монте-Карло для трансформирования распределений входных величин (см. 5.9).
Примечание - Формально плотность распределения вероятностей случайной величины
где
5.3 Получение окончательного результата
5.3.1 Оценка
5.3.2 Интервал охвата для
5.3.3 Выбор
Примечание - Если плотность распределения вероятностей для
5.3.4 Если плотность распределения вероятностей асимметрична, то более подходящим может быть выбор
5.3.5 Для симметричной плотности распределения вероятностей, например для нормального или масштабированного смещенного
5.3.6 На рисунке 1 показана функция распределения
Рисунок 1 - Функция распределения
5.4 Способы трансформирования распределений
5.4.1 Трансформирование распределений осуществляют несколькими способами:
a) аналитическими методами, обеспечивающими определение плотности распределения вероятностей для
b) применением закона трансформирования неопределенностей, основанного на замене функции измерения ее аппроксимацией рядом Тейлора с членами первого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)];
c) применением того же закона трансформирования неопределенностей [см. перечисление b) выше], но с учетом членов разложения более высокого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)];
d) численными методами [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)], в том числе с использованием метода Монте-Карло (см. 5.9).
Примечание 1 - Аналитические методы превосходят все прочие с той точки зрения, что они не используют приближений. Однако они применимы только в простых случаях. Применение аналитических методов и примеры их использования приведены в [8, 13]. Далее эти методы в настоящем стандарте рассматриваются только в примерах (см. раздел 9).
Примечание 2 - Метод Монте-Карло в настоящем стандарте используется для получения распределения выходной величины, а не в качестве метода имитационного моделирования. При оценке неопределенности на этапе трансформирования распределений решаемая задача является детерминированной, поэтому в имитационном моделировании случайного процесса нет необходимости.
5.4.2 GUM допускает применение подходов к оценке неопределенности, отличных от того, что использован в самом GUM [см. Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)]. Однако самым общим из этих подходов является тот, что установлен в настоящем стандарте и основан на трансформировании распределений. Для линейных и линеаризованных функций измерения и входных величин, подчиняющихся нормальному распределению, такой подход согласуется с подходом GUM. Однако в случаях, когда условия применения подхода GUM не выполняются (см. 5.7 и 5.8), подход, установленный в настоящем стандарте, позволяет получить обоснованные заключения о неопределенности.
5.4.3 Трансформирование распределений требует выбора подходящего метода. Если можно продемонстрировать, что условия, необходимые для получения достоверных результатов в соответствии с GUM, выполнены, то может быть использован подход GUM. Если имеются основания полагать, что оценка неопределенности, полученная по GUM, окажется недостоверной, то должен быть применен другой подход. Может возникнуть ситуация, когда сложно оценить обоснованность применения способа оценивания неопределенности по GUM. Однако во всех трех вышеописанных случаях хороший результат может быть получен с использованием метода Монте-Карло. В первом случае метод Монте-Карло может быть проще в применении, например, вследствие трудностей вычисления коэффициентов чувствительности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.3)]. Во втором случае метод Монте-Карло позволит получить достоверный результат, т.к. его применение не требует использования дополнительных предположений. В третьем случае метод Монте-Карло может быть применен как собственно для получения оценки неопределенности, так и для оценки качества результатов, полученных способом расчета неопределенности по GUM.
5.4.4 Трансформирование моделью измерений плотностей распределения вероятностей
Рисунок 2 - Трансформирование распределений трех (
5.4.5 На практике только в самых простых случаях преобразование распределений может быть выполнено без приближений. При оценке неопределенности по GUM применяется один метод приближения, в методе Монте-Карло - другой. Для небольшой, но важной подгруппы задач оценки неопределенности в соответствии с GUM не требуется применения приближений (решение является точным). Метод Монте-Карло не позволяет получить точные результаты, но для широкого класса задач он будет более обоснованным, чем подход GUM.
5.5 Представление результатов
5.5.1 После выполнения трансформирования распределений должна быть отражена, как правило, следующая информация:
a) оценка
b) стандартная неопределенность
c) заданная
d) границы выбранного
e) другая значимая информация, такая как тип интервала охвата (вероятностно симметричный или наименьший).
5.5.2 Значения
Примечание 1 - Представляемое численное значение обычно получают путем округления числа, содержащего большее количество значащих цифр.
Примечание 2 - Фактором, влияющим на выбор представления результатов одной или двумя значащими цифрами, является значащая цифра высшего разряда в значении
Примечание 3 - Если полученные результаты должны быть использованы в дальнейших вычислениях, следует определить, есть ли необходимость в сохранении большего числа значащих цифр.
Пример - Результаты для
Те же результаты в случае, когда
5.6 Оценивание неопределенности по GUM
5.6.1 В GUM установлено общее руководство, распространяющееся на разные аспекты последовательного оценивания неопределенности в соответствии с 5.1.1, и установлен способ оценивания неопределенности для этапов трансформирования распределений и получения окончательных результатов измерения. Общая схема оценивания неопределенности, установленная GUM, принята многими организациями, нашла широкое практическое применение, используется в стандартах и руководствах, в которых рассматриваются вопросы оценки неопределенности измерения, и реализована в программных средствах.
5.6.2 Способ оценивания неопределенности по GUM включает в себя следующие этапы. Каждая входная величина
a) оценку
b) стандартную неопределенность
Оценку
Примечание - В число характеристик входной величины может входить также число степеней свободы для
5.6.3 Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов по GUM [этапы b) и с) в 5.1.1] включают в себя следующие компьютерные расчеты [см. рисунок 3, иллюстрирующий закон трансформирования неопределенностей для модели с тремя (
Рисунок 3 - Трансформирование неопределенностей для трех (
a) в соответствии с плотностью распределения вероятностей для входных величин
b) определяют число степеней свободы (бесконечное или конечное) для каждой
c) для каждой пары зависимых величин
d) определяют частные производные первого порядка от
e) вычисляют оценку, подставляя в функцию измерения
f) вычисляют коэффициенты чувствительности модели [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.3)] через значения вычисленных частных производных в точке
g) вычисляют стандартную неопределенность
h) вычисляют
i) вычисляют расширенную неопределенность
5.7 Условия применимости способа оценивания по GUM в случае линейной модели
5.7.1 В случае линейных моделей (функция измерения линейна относительно
5.7.2 Интервал охвата может быть определен в соответствии с GUM при выполнении следующих условий:
a) применима формула Уэлча-Саттертуэйта для вычисления числа эффективных степеней свободы
b) если стандартной неопределенности оценки какой-либо входной величины
c) плотность распределения вероятностей для
Примечание 1 - Условие а) обеспечивает возможность описания
Примечание 2 - Условие b) связано с тем, что GUM не рассматривает возможность оценивания неопределенности в случае зависимых
Примечание 3 - Условие с) заведомо выполняется, если каждая случайная величина
Примечание 4 - Способ оценивания неопределенности по GUM не может быть применен, если величина
5.8 Условия применимости способа оценивания неопределенности по GUM для нелинейных моделей
5.8.1 Закон трансформирования неопределенностей может быть применен для нелинейных моделей при выполнении следующих условий:
a) функция
b) условие а) справедливо в отношении производных всех порядков, используемых в законе трансформирования неопределенностей;
c) величины
d) величины
е) члены высших порядков, не включенные в аппроксимацию
Примечание 1 - Условие а) необходимо для применения закона трансформирования неопределенностей, основанного на аппроксимации
Примечание 2 - Условие b) необходимо для применения закона трансформирования неопределенностей, основанного на аппроксимации
Примечание 3 - Условие с) относится к рассматриваемому в GUM случаю, когда в разложении в ряд Тейлора учитываются члены высших порядков, определяемых независимыми
Примечание 4 - Условие d) представляет собой уточнение утверждения GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)] о том, что закон трансформирования неопределенностей, учитывающий члены высших порядков, основан на предположении о симметричности плотностей распределения вероятностей для
Примечание 5 - Если требуемое для существенно нелинейной функции измерения аналитическое определение частных производных высших порядков представляет трудности или может привести к ошибкам, то допускается применение методов численного дифференцирования с использованием соответствующего программного обеспечения. Как вариант, частные производные могут быть аппроксимированы численно методом конечных разностей [5]. (В GUM приведена формула конечно-разностной аппроксимации для вычисления частных производных первого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание 2 к 5.1.3)].) Однако следует соблюдать осторожность, оперируя конечными разностями для близких значений функции, поскольку погрешности округления чисел при использовании арифметики с конечной точностью способны привести к значительным ошибкам в расчетах.
5.8.2 Интервал охвата может быть определен в соответствии с GUM, если выполнены условия а), b) и с), установленные в 5.7.2, а примечание 3 из 5.8.1 заменено на следующее: "Условие с) необходимо для того, чтобы интервал охвата мог быть определен из распределений этих величин".
5.8.3 Если условия 5.8.1 или 5.8.2 выполнены (что справедливо для многих практических ситуаций), то этого обычно достаточно для корректного применения способа оценивания неопределенности по GUM.
5.9 Метод Монте-Карло для этапов трансформирования распределений и получения окончательных результатов
5.9.1 Метод Монте-Карло обеспечивает получение приближенного численного представления математического объекта
5.9.2 Поскольку
5.9.3 Математическое ожидание и дисперсия (а также более высокие моменты распределения) могут быть определены непосредственно по выборке на выходе модели. Для определения интервала охвата необходимо предварительно эту выборку упорядочить.
5.9.4 Если
5.9.5 Каждое значение
Примечание - Существует небольшая вероятность того, что найдутся элементы выборки
5.9.6 Применение метода Монте-Карло для трансформирования распределений схематически показано на рисунке 4 для случая заранее заданного значения
a) выбор числа испытаний
b) формирование в каждом из
c) получение для каждого такого вектора значения
d) расположение полученных
e) получение на основе
f) построение на основе
Рисунок 4 - Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов оценивания неопределенности методом Монте-Карло
Примечание 1 - Формирование выборки из распределений вероятностей рассматривается в 6.4 и в приложении С.
Примечание 2 - Среднее арифметическое из
Примечание 3 - На этапе е) можно использовать
5.9.7 Эффективность метода Монте-Карло при определении
5.10 Условия применимости метода Монте-Карло
5.10.1 Применение метода Монте-Карло для трансформирования распределений с получением результатов оценивания неопределенности требует выполнения следующих условий:
a) функция измерения
b) функция распределения для
c) плотность распределения вероятностей для
1) непрерывна на интервале, где ее значения строго положительны,
2) унимодальна (т.е. имеет единственный максимум),
3) равна нулю или монотонно возрастает слева от моды и монотонно убывает или равна нулю справа от моды;
d)
e) выбранное значение
Примечание 1 - В отличие от требования а) непрерывности самой функции измерения никаких условий на производные этой функции не налагается.
Примечание 2 - Условия а) и b) обеспечивают однозначность функции обратной функции распределения и, следовательно, позволяют определить интервал охвата. Если определение интервала охвата не требуется, то необходимым является только условие а).
Примечание 3 - Условие с) необходимо только в случае определения наименьшего интервала охвата. Тогда условие с) обеспечивает единственность наименьшего интервала охвата, соответствующего заданной вероятности охвата. Если мода является граничной точкой интервала, на котором плотность распределения вероятностей отлична от нуля, то одно из двух условий перечисления 3) является лишним.
Примечание 4 - Условие d) необходимо для обеспечения сходимости по вероятности оценок, полученных методом Монте-Карло, при увеличении
Примечание 5 - Условие е) необходимо для обеспечения достоверности результатов оценивания неопределенности (см. 8.2).
5.10.2 Если условия, указанные в 5.10.1, выполнены, то результаты оценивания неопределенности с использованием метода Монте-Карло можно считать достоверными. Эти условия менее жесткие, чем те, выполнение которых необходимо для оценивания неопределенности по GUM (см. 5.7 и 5.8).
5.11 Сравнение способов оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло
5.11.1 Целью подраздела является сравнение принципов, лежащих в основе оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло, используемого для преобразования распределений. В настоящем подразделе приведены некоторые обоснования использования метода Монте-Карло в условиях, когда обоснованность применения способа оценивания неопределенности по GUM остается неясной.
5.11.2 Для сравнения способа оценивания неопределенности по GUM с методом Монте-Карло полезно сделать обзор основных положений GUM, касающихся оценок неопределенности типов А и В. При определении оценки неопределенности типа A GUM позволяет получить наилучшую оценку величины и соответствующей стандартной неопределенности в виде среднего арифметического и выборочного стандартного отклонения, полученных на основе независимых наблюдений. При определении оценки неопределенности типа В используют априорные знания о величине для описания с ее помощью плотности распределения вероятностей, на основе которых определяют наилучшую оценку величины и соответствующую стандартную неопределенность. В соответствии с GUM оба типа оценок основаны на использовании распределений вероятностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.3.4)] и общепризнанных интерпретаций вероятности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.3.5)]. В подходе GUM оценивание неопределенности подразумевает трансформирование распределений вероятностей, поскольку входной и выходной величинам в нем ставятся в соответствие случайные величины, обладающие своими распределениями вероятностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.6.6)] (см. также 5.1.2).
5.11.3 В методе оценивания неопределенности по GUM плотность распределения вероятностей выходной величины в явном виде не определяют. Ссылки настоящего стандарта при рассмотрении подхода GUM на распределение выходной величины исходят из того, что существование такого распределения обусловлено смыслом процедуры оценивания.
5.11.4 Метод, устанавливаемый настоящим стандартом, в максимально возможной степени совместим с GUM, особенно в отношении использования плотностей распределения вероятностей для описания всех входящих в модель измерения величин, но может отличаться от него в следующем:
a) всем входным величинам
b) вычисление коэффициентов чувствительности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.3)] не является неотъемлемой частью метода, и, следовательно, вычисление или численная аппроксимация частных производных функции измерения по
c) численное представление функции распределения выходной величины
d) поскольку плотность распределения вероятностей для
5.11.5 Так как способ оценивания неопределенности по GUM оперирует только наилучшими оценками
5.11.6 Метод Монте-Карло обладает следующими преимуществами:
a) сокращаются аналитические расчеты в случае более сложных или нелинейных моделей, особенно вследствие того, что не требуется определение частных производных первого или более высоких порядков, необходимых для оценки коэффициентов чувствительности в соответствии с законом трансформирования неопределенности;
b) в общем случае улучшаются оценки
c) улучшаются оценки стандартной неопределенности оценки
d) существует возможность построения интервала охвата в соответствии с заданной вероятностью охвата, когда плотность распределения вероятностей для
е) для определения интервала охвата не требуется использования коэффициента охвата [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (2.3.6)].
6 Плотности распределения вероятностей входных величин
6.1 Общие положения
6.1.1 Настоящий раздел содержит рекомендации по выбору в некоторых типичных ситуациях плотностей распределения вероятностей для входных величин
Примечание - В некоторых случаях выбор приписываемой плотности распределения вероятностей может быть основан на иных соображениях. Но всегда должны быть зафиксированы основания, положенные в основу этого выбора.
6.1.2 В общем случае входным величинам
6.1.3 Если
6.1.4 В случае, когда независимы только некоторые из
Примечание - В ряде случаев от всех или некоторых зависимостей между входными величинами можно избавиться посредством их замены на другие переменные величины [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (F.1.2.4, Н.1.2)]. Такая замена может упростить как применение закона трансформирования неопределенностей, так и закона трансформирования распределений. Более подробно этот вопрос с иллюстрацией примерами рассмотрен в [15].
6.1.5 Значимая информация для выбора плотности распределения вероятностей для
6.1.6 В настоящем стандарте не приводятся подробные рекомендации по выбору плотностей распределения вероятностей индивидуальных или совместных. Вид выбранной плотности распределения вероятностей в неявном виде включает в себя знания и практический опыт метролога, составляющего модель измерения, который в конечном счете несет ответственность за качество конечных результатов.
6.1.7 Справочным руководством по видам распределения вероятностей может служить [18].
6.2 Теорема Байеса
6.2.1 Если информация о некоторой входной величине
6.2.2 В соответствии с теоремой Байеса для уточнения плотности распределения вероятностей используют произведение априорной плотности распределения вероятностей на функцию правдоподобия [20]. Функция правдоподобия в случае независимых наблюдений является произведением значений плотностей распределения вероятностей (например, гауссовых с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией) для полученных наблюдений. Апостериорную плотность распределения вероятностей получают интегрированием произведения априорной плотности распределения вероятностей и функции правдоподобия по всем возможным значениям дисперсии с последующей нормировкой.
Примечание 1 - Иногда (например, как в 6.4.11) случайные величины, для которых получены наблюдения, описываются плотностью распределения с единственным параметром распределения. В таких случаях математическому ожиданию этого распределения приписывают неинформативную априорную плотность распределения вероятностей, а апостериорное распределение, понимаемое как распределение
Примечание 2 - Теорема Байеса может быть также применена для разных предположений о виде распределения наблюдаемых случайных величин, например, когда их неизвестные математическое ожидание и стандартное отклонение полагают равными между собой.
6.3 Принцип максимума энтропии
6.3.1 При использовании принципа максимума энтропии, введенного Джейнсом [25], выбирают единственную плотность распределения вероятностей из всех возможных распределений с заданными свойствами, например заданными центральными моментами различного порядка или заданными интервалами, на которых плотность распределения вероятностей не равна нулю. Этот метод особенно полезен для выбора плотности распределения вероятностей величин, для которых данные наблюдений недоступны, или величин, которые невозможно измерить.
6.3.2 При применении принципа максимума энтропии в качестве плотности распределения вероятностей
представляющий собой энтропию по Шеннону [48], достигает максимума при ограничениях, определяемых имеющейся информацией об
6.4 Выбор плотности распределения в некоторых типичных условиях
6.4.1 Общие положения
Информация, приведенная в 6.4.2-6.4.11, позволяет выбрать плотности распределения вероятностей случайных величин на основе различной имеющейся информации об этих величинах. Вид плотности распределения вероятностей
a) формулы для математического ожидания и дисперсии
b) способ получения выборки из
Сведения, приведенные в 6.4.2-6.4.11, и графическое представление распределений, к которым эти сведения относятся, собраны в таблице 1.
Таблица 1 - Информация о случайной величине и вид соответствующей плотности распределения вероятностей
Информация о величине | Распределение вероятностей | Пункт | |
Нижняя и верхняя границы: | Равномерное | 6.4.2 | |
Неточно известные нижняя и верхняя границы: | Криволинейно-трапецеидальное | 6.4.3 | |
Сумма двух равномерно распределенных величин с границами ( | Трапецеидальное | 6.4.4 | |
Сумма двух равномерно распределенных величин с границами ( | Треугольное | 6.4.5 | |
Гармоническое колебание между нижней ( | Арксинусное (U-образное) | 6.4.6 | |
Наилучшая оценка | Нормальное (гауссово) | 6.4.7 | |
Наилучшая оценка | Многомерное нормальное (гауссово) | 6.4.8 | |
Выборка независимых наблюдений | 6.4.9.2 | ||
Наилучшая оценка | 6.4.9.7 | ||
Наилучшая оценка | Экспоненциальное | 6.4.10 | |
Число | Гамма-распределение | 6.4.11 | |
Примечание - Графики плотностей распределения вероятностей в таблице 1 даны без соблюдения масштаба. График многомерного нормального распределения не показан. |
6.4.2 Равномерное (прямоугольное) распределение
6.4.2.1 Если единственной доступной информацией о величине
6.4.2.2 Плотность распределения вероятностей для
6.4.2.3 Математическое ожидание и дисперсия
6.4.2.4 Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению
6.4.3 Равномерное распределение с неточно известными границами
6.4.3.1 О величине
6.4.3.2 Плотность распределения вероятностей для
где
Примечание - Формула (3) может быть представлена в следующем виде, удобном для программирования:
6.4.3.3 Математическое ожидание и дисперсия
Примечание 1 - Дисперсия, полученная по формуле (4), всегда больше дисперсии соответствующего равномерного распределения, полученной по формуле (2), т.е. когда
Примечание 2 - В GUM информация об
6.4.3.4 Для получения выборочного значения
и
Примечание -
Пример - В сертификате указано, что значение напряжения
Следовательно,
6.4.4 Трапецеидальное распределение
6.4.4.1 В GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.3.9)] рассмотрено применение симметричного трапецеидального распределения. Если случайная величина
где
6.4.4.2 Плотность распределения вероятностей для
где
Примечание - Формула (7) может быть представлена в следующем виде, удобном для программирования:
Рисунок 5 - Плотность трапецеидального распределения суммы
6.4.4.3 Математическое ожидание и дисперсия
6.4.4.4 Для получения выборочного значения
6.4.5 Треугольное распределение
6.4.5.1 Если величина
6.4.5.2 Плотность распределения вероятностей для
где
Примечание - Формула (8) может быть представлена в следующем виде, удобном для программирования:
6.4.5.3 Математическое ожидание и дисперсия
6.4.5.4 Для получения выборочного значения
6.4.6 Арксинусное (U-образное) распределение
6.4.6.1 Если известно, что величина
где
6.4.6.2 Плотность распределения вероятностей для
Примечание - Посредством замены переменной
можно от распределения
Случайная величина
Это частный случай бета-распределения, когда оба параметра распределения равны одной второй.
6.4.6.3 Математическое ожидание и дисперсия
6.4.6.4 Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению
6.4.7 Нормальное распределение (распределение Гаусса)
6.4.7.1 Если наилучшая оценка
6.4.7.2 Плотность распределения вероятностей для
6.4.7.3 Математическое ожидание и дисперсия
6.4.7.4 Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению
6.4.8 Многомерное нормальное распределение
6.4.8.1 Ситуация, описанная в 6.4.7.1, может быть распространена на
то случайная величина
6.4.8.2 Совместная плотность распределения
6.4.8.3 Математическое ожидание и ковариационная матрица
6.4.8.4 Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению
где
Примечание 1 - Вместо разложения Холецкого
Примечание 2 - Из многомерных распределений в настоящем стандарте рассматривается только многомерное нормальное распределение, часто применяемое на практике. Процедура получения выборки из многомерного нормального распределения приведена выше (а также в разделе С.5). Если необходимо использовать многомерное распределение, отличное от нормального, то необходимо определить процедуру формирования выборки из этого распределения.
Примечание 3 - В случае независимых случайных величин плотность многомерного нормального распределения (11) превращается в произведение
6.4.9
6.4.9.1 Обычно
6.4.9.2 Если имеется серия из
представляют собой, соответственно, выборочное среднее и выборочную дисперсию [20].
6.4.9.3 Плотность распределения вероятностей для
где
6.4.9.4 Математическое ожидание и дисперсия
где
Примечание 1 - В соответствии с GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.2)] стандартную неопределенность
Примечание 2 - В байесовской интерпретации вероятности, использованной в настоящем стандарте, такого понятия как надежность оценки неопределенности не существует. Соответственно, в настоящем стандарте число степеней свободы оценки неопределенности типа А не рассматривается как мера этой неопределенности, а понятие числа степеней свободы для оценки неопределенности типа В не используется.
6.4.9.5 Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению
6.4.9.6 Если вместо оценки стандартного отклонения
то число степеней свободы
а формулы (13) - на
6.4.9.7 Если источником информации о величине
6.4.9.8 Если
Примечание - Это нормальное распределение будет предельным случаем масштабированного смещенного
6.4.10 Экспоненциальное распределение
6.4.10.1 Если единственной доступной информацией о неотрицательной величине
6.4.10.2 Плотность распределения вероятностей для
6.4.10.3 Математическое ожидание и дисперсия
6.4.10.4 Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению
Примечание - Дополнительную информацию в отношении приписывания плотности распределения вероятностей неотрицательной величине можно найти в [14].
6.4.11 Гамма-распределение
6.4.11.1 Величина
6.4.11.2 Плотность распределения вероятностей для
6.4.11.3 Математическое ожидание и дисперсия
6.4.11.4 Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению
Примечание 1 - Если подсчет осуществляют по нескольким выборкам (соответствующим одному и тому же распределению Пуассона), a
Примечание 2 - Гамма-распределение является обобщением распределения хи-квадрат и используется для анализа информации, относящейся к дисперсиям.
Примечание 3 - Специфическое гамма-распределение в 6.4.11.4 - это распределение Эрланга, представляющее собой распределение суммы
6.5 Распределения, получаемые по предшествующим расчетам неопределенности
Выполненные ранее вычисления неопределенности могут быть использованы для приписывания распределения выходной величине, которая в последующих расчетах неопределенности может выступать в качестве входной величины. Такое распределение может иметь аналитическое представление, например в виде нормального распределения. Оно может также иметь вид аппроксимации функции распределения для величины, полученной, например, при предшествующем применении метода Монте-Карло. Способы описания такой функции распределения приведены в 7.5.1 и разделе D.2.
7 Применение метода Монте-Карло
7.1 Общие положения
Данный раздел содержит сведения о применении метода Монте-Карло для трансформирования распределений (см. процедуру, описанную в 5.9.6 и графически изображенную на рисунке 4).
7.2 Число испытаний при применении метода Монте-Карло
7.2.1 Для применения метода Монте-Карло необходимо выбрать число испытаний
Примечание - Как правило, выбор
7.2.2 Рекомендуется выбирать значение
7.2.3 Поскольку нельзя заранее гарантировать, что выбранное значение
Примечание - Для сложной модели, например, требующей получения решения методом конечных элементов, применение большого числа испытаний может оказаться невозможным. В этом случае рекомендуется представить плотность распределения вероятностей выходной величины
7.3 Выборка из распределения вероятностей
Для применения метода Монте-Карло формируют
Примечание - Для достоверности результатов применения метода Монте-Карло необходимо, чтобы генераторы псевдослучайных чисел, используемые для формирования выборок из заданных распределений, обладали соответствующими свойствами. В С.3.2 приведены некоторые критерии проверки сформированных выборок на случайность.
7.4 Оценка выходной величины
7.4.1 Выходную величину определяют для каждой из
7.4.2 Если
Примечание - При использовании закона трансформирования неопределенностей, когда аналитические выражения производных функции измерения по входным величинам известны точно, значения выходной величины и этих производных получают в точке наилучших оценок входных величин. Если аналитические выражения для производных неизвестны, и для их оценок используют приближение в виде конечных разностей, то получают значения только выходной величины. Согласно рекомендации GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание 2 к 5.1.3)] значения функции измерения берут в точках наилучших оценок входных величин, а также в точках, отстоящих по обе стороны от этих наилучших оценок на расстоянии одной стандартной неопределенности (варьируя по очереди для каждой входной величины). В методе же Монте-Карло значения выходной величины получают при варьировании входных величин в окрестности их наилучших оценок, так что в отдельной выборке значение входной величины может отстоять от ее наилучшей оценки на несколько стандартных отклонений. Тот факт, что в методе Монте-Карло значения функции измерений получают в разных точках, может породить вопрос о свойствах вычислительной процедуры, в частности, о ее устойчивости и (в случае применения адаптивной процедуры) сходимости. При возникновении сомнений пользователю следует убедиться в том, что метод дает достоверные оценки выходной величины для достаточно больших окрестностей наилучших оценок входных величин. Однако следует ожидать, что вопросы устойчивости и сходимости численного метода могут стать критическими только в исключительных случаях.
7.5 Дискретное представление функции распределения выходной величины
7.5.1 Дискретное представление
a) значения выходной величины
b) если среди значений
c) полученная последовательность
Примечание 1 - Из возможных алгоритмов сортировки, применяемой на этапе а), рекомендуется выбирать такой, в котором число операций пропорционально
Примечание 2 - В перечислении а) использован термин "неубывающий", а не "возрастающий" вследствие возможного равенства между собой некоторых значений
Примечание 3 - Внесение в совпадающие значения выходной величины только очень малых возмущений [см. перечисление b)] обеспечивает неизменность статистических свойств
Примечание 4 - Необходимость внесения малых возмущений на этапе b) в действительности маловероятна из-за огромного множества различных чисел с плавающей запятой, появляющихся на выходе модели при подаче на ее вход данных с генератора случайных чисел. Тем не менее, возможность внесения малых возмущений должна быть предусмотрена применяемыми программными средствами.
Примечание 5 - Из построенного на этапе с) приближения
Примечание 6 - Если выходная величина
7.5.2 Последовательность
7.5.3 В ряде случаев требуется аппроксимация
7.6 Оценка выходной величины и ее стандартной неопределенности
В качестве оценки
а в качестве оценки ее стандартной неопределенности
Примечание 1 - Для численных вычислений следует использовать формулу (17), а не эквивалентную ей математически формулу
Это связано с тем, что очень часто в метрологии
Примечание 2 - В некоторых особых случаях, когда одной из входных величин приписано
Примечание 3 - В общем случае
7.7 Интервал охвата для выходной величины
7.7.1 Интервал охвата для
7.7.2 Если
Примечание - Поскольку численные значения, полученные в результате применения метода Монте-Карло, случайны по своей природе, то некоторые из построенных
Пример - С помощью генератора псевдослучайных чисел для равномерного распределения в интервале [0,1] были получены 10
7.8 Время вычислений
7.8.1 Большая часть времени вычислений по методу Монте-Карло расходуется на выполнение следующих трех этапов:
a) генерирование
b) определение
c) расположение
7.8.2 Время, необходимое на выполнение этих трех этапов, прямо пропорционально
7.8.3 В случае простой модели и независимых входных величин время, необходимое для выполнения этапа с), будет преобладающим, а общее время вычислений на персональном компьютере с тактовой частотой процесса в несколько гигагерц при
Примечание 1 - Если модель проста, а
Примечание 2 - Ориентировочно оценку времени вычислений методом Монте-Карло можно выполнить на примере, задав модель измерения в виде суммы пяти членов:
Каждой входной величине
a) генерирования
b) вычисления
c) сортировки
7.9 Адаптивная процедура реализации метода Монте-Карло
7.9.1 Общие положения
Суть адаптивной процедуры состоит в последовательном увеличении числа испытаний до тех пор, пока полученные числовые оценки статистических характеристик не станут установившимися. Численный результат считается установившимся, если соответствующее ему удвоенное стандартное отклонение станет меньше заданной точности вычисления стандартной неопределенности
7.9.2 Точность вычисления числовых значений
Если обозначить через
a) представляют значение
b) определяют
Пример 1 - Оценка выходной величины для эталона массы номиналом 100 г [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (7.2.2)] составляет
Пример 2 - Условия те же, что и в примере 1, за исключением того, что только одна значащая цифра в
Пример 3 - При измерениях температуры
7.9.3 Назначение адаптивной процедуры
В результате применения адаптивной процедуры, приведенной в 7.9.4, должны быть определены:
a) оценка
b) стандартная неопределенность
c) границы
При этом числовые значения каждой из вышеуказанных четырех величин должны в среднем удовлетворять заданной точности вычисления.
Примечание 1 - То, что выполнение требования к точности вычислений может быть гарантировано не безусловно, а только в среднем, обусловлено природой случайности, на которой основан метод Монте-Карло.
Примечание 2 - С увеличением числа испытаний скорость сходимости оценок
Примечание 3 - Как правило, чем больше вероятность охвата, тем большее число испытаний требуется для определения
7.9.4 Процедура
Практическая реализация адаптивной процедуры метода Монте-Карло с последовательным увеличением числа испытаний состоит в следующем:
a) задают
b) задают
c) задают
d) выполняют
e) используют
f) если
g) вычисляют выборочное стандартное отклонение
где
h) аналогичным образом вычисляют выборочное стандартное отклонение для средних значений оценок
i) используют все
j) определяют предел погрешности вычисления
k) если хотя бы одно из значений
l) если возврата к этапу d) не произошло, и значения всех вычисляемых оценок можно считать установившимися, то на основе полученных
Примечание 1 - Обычно на этапе а) задают
Примечание 2 - На этапе b) выбор
Примечание 3 - На этапе g)
Примечание 4 - Стандартные отклонения, полученные в соответствии с g) и h), имеют тенденцию к уменьшению по закону
Примечание 5 - В тех случаях, когда определять интервал охвата не требуется, проверку точности вычислений на этапе k) достаточно выполнять только для
Примечание 6 - Множитель 2, используемый на этапе k), основан на представлении выборочных средних в виде случайных величин, подчиняющихся нормальному распределению, и соответствует вероятности охвата, приблизительно равной 95%.
Примечание 7 - Альтернативный неадаптивный подход для построения 95%-ного вероятностно симметричного интервала охвата, основанный на использовании статистик биноминального распределения [10], состоит в следующем. Выбирают
где
8 Проверка результатов
8.1 Проверка результатов оценивания неопределенности по GUM сравнением с методом Монте-Карло
8.1.1 Способ оценивания неопределенности по GUM во многих случаях работает хорошо. Однако не всегда можно сразу определить, соблюдены ли все условия для его применения (см. 5.7 и 5.8). Обычно гораздо проще оценить неопределенность с использованием метода Монте-Карло (при наличии соответствующего программного обеспечения), чем выяснить, выполнены ли все условия оценивания по GUM [8]. При наличии сомнений в обоснованности применения способа оценивания по GUM полученные с его помощью результаты нуждаются в проверке, а поскольку диапазон условий, при которых может быть применен метод Монте-Карло, значительно шире, чем для метода по GUM, то для такой проверки рекомендуется сопоставить результаты оценивания по GUM с результатами оценивания методом Монте-Карло. Если сравнение подтвердит обоснованность применения GUM, то способ оценивания неопределенности по GUM можно будет применять в будущем для схожих задач. В противном случае следует рассмотреть возможность замены на другой способ оценивания неопределенности, включая тот же метод Монте-Карло.
8.1.2 При сравнении двух методов рекомендуется руководствоваться следующей двухэтапной процедурой:
a) применить способ оценивания неопределенности по GUM (возможно с учетом членов высшего порядка разложения функции измерения в ряд Тейлора в законе трансформирования неопределенностей) (см. 5.6), для определения 100
b) применить адаптивную процедуру Монте-Карло (см. 7.9.4) для получения стандартной неопределенности
8.1.3 Процедура сравнения позволяет определить, согласуются ли интервалы охвата, полученные в соответствии со способом оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло, в пределах заданной точности вычислений. Точность вычислений для границ интервалов охвата определяют через точность выражения стандартной неопределенности
a) определяют предел погрешности вычисления
b) сравнивают интервалы охвата, полученные в соответствии со способом оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло, чтобы определить, получено ли в значениях границ интервала охвата, вычисленных по GUM, необходимое число верных значащих цифр. При этом определяют:
т.е. абсолютные значения разности соответствующих границ двух интервалов охвата. Если как
Примечание - Результат сравнения будет зависеть от того, какой вероятности охвата соответствуют сравниваемые интервалы. Поэтому проверку выполняют только для конкретной заданной вероятности охвата
8.2 Применение метода Монте-Карло при проведении проверки
Для выполнения проверки по 8.1 метод Монте-Карло должен быть реализован для достаточно большого числа испытаний
Примечание - В среднем уменьшение погрешности вычисления до
9 Примеры
9.1 Иллюстрация положений настоящего стандарта
9.1.1 Приведенные в настоящем разделе примеры иллюстрируют различные вопросы применения положений настоящего стандарта, включая использование способа оценивания неопределенности по GUM с учетом и без учета членов разложения функции измерения в ряд Тейлора высших порядков и сопоставление полученных с его помощью результатов с результатами:
a) метода Монте-Карло с использованием заданного числа испытаний
b) адаптивной процедуры метода Монте-Карло (см. 7.9.4), в которой необходимое значение
c) сочетающими перечисленное в а) и b).
9.1.2 Некоторые из примеров посвящены вопросу, подтверждают ли результаты, указанные в 9.1.1, перечисление b), результаты оценивания неопределенности по GUM. Для целей сравнения результатов используется соответствующим образом выбранный предел погрешности вычисления
9.1.3 Как правило, результаты представлены в виде, установленном в 5.5. Однако для облегчения сравнения результатов, полученных разными методами, часто использовано более рекомендованных одной или двух значащих цифр.
9.1.4 В качестве генератора псевдослучайных чисел из равномерного распределения (см. С.З) использован вихрь Мерсенна [34]. Этот генератор прошел всестороннюю проверку статистических свойств получаемой выборки из равномерного распределения [30] и реализован в пакете МАТLАВ* [36], который использован для получения результатов в примерах настоящего раздела.
_______________
* MATLAB является коммерческим продуктом, удобным для числовых расчетов, требуемых в примерах настоящего стандарта. Информация об используемом средстве приведена только для удобства пользователей настоящего стандарта. Ее не следует рассматривать как рекомендацию использовать именно этот коммерческий продукт в практических вычислениях.
9.1.5 Первый пример (см. 9.2) представляет собой аддитивную модель. Он демонстрирует совпадение результатов, полученных с применением метода Монте-Карло, с теми, что получены способом оценивания неопределенности по GUM в случае выполнения условий применимости последнего (см. 5.7). Эта модель рассмотрена для различных плотностей распределения вероятностей для входных величин, что позволяет показать некоторые отклонения результатов в ситуациях, когда выполнены не все условия применимости способа оценивания неопределенности по GUM.
9.1.6 Второй пример (см. 9.3) представляет собой задачу калибровки при измерении массы. Он показывает, что способ оценивания неопределенности по GUM дает достоверные результаты для данного примера только в том случае, когда учтены вклады членов разложения функции измерения в ряд Тейлора высших порядков.
9.1.7 Третий пример (см. 9.4) относится к области электрических измерений. Он показывает, что плотность распределения вероятностей для выходной величины может быть существенно асимметричной, и, таким образом, способ оценивания неопределенности по GUM может дать недостоверные результаты даже при учете членов разложения функции измерения в ряд Тейлора высших порядков. Рассмотрены случаи как независимых, так и зависимых входных величин.
9.1.8 Четвертый пример (см. 9.5) - это пример калибровки концевой меры длины, взятый из GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (раздел Н.1)]. Даны пояснения относительно используемых в примере входных величин модели и плотностях распределения вероятностей для этих величин, а также приведено сравнение результатов, получаемых по GUM, с полученными с использованием метода Монте-Карло. Результаты получены как для приближения, использованного в GUM, так и без использования этого приближения для данной измерительной задачи.
9.2 Аддитивная модель
9.2.1 Постановка задачи
В настоящем примере рассмотрена аддитивная модель
представляющая собой частный случай общей линейной модели, рассмотренной в GUM, для трех различных сочетаний плотностей распределения вероятностей
Примечание - Более подробная информация об аддитивных моделях, подобных описываемым формулой (21), где входные величины распределены либо по нормальному, либо по равномерному закону, либо частью по нормальному, а частью по равномерному закону, приведена в [13].
9.2.2 Нормально распределенные входные величины
9.2.2.1 Каждой входной величине
9.2.2.2 Полученные результаты [с тремя значащими цифрами для облегчения их сопоставления (см. 9.1.3)] приведены в первых пяти столбцах таблицы 2.
Таблица 2 - Применение к модели (21) в случае нормального распределения
Метод | Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата | Достоверность результатов по GUM ( | |||||
GUM | - | 0,00 | 2,00 | [-3,92, 3,92] | - | - | - |
Монте-Карло | 10 | 0,00 | 2,00 | [-3,94, 3,92] | - | - | - |
Монте-Карло | 10 | 0,00 | 2,00 | [-3,92, 3,92] | - | - | - |
Монте-Карло | 10 | 0,00 | 2,00 | [-3,92, 3,92] | - | - | - |
Монте-Карло, адаптивный | 1,23·10 | 0,00 | 2,00 | [-3,92, 3,93] | 0,00 | 0,01 | Да |
Монте-Карло, адаптивный | 1,02·10 | 0,00 | 2,00 | [-3,92, 3,92] | 0,00 | 0,00 | Да |
Аналитический | - | 0,00 | 2,00 | [-3,92, 3,92] | - | - | - |
Примечание - Поскольку в данном случае, также как и в других случаях, рассматриваемых в настоящем примере, известно, что плотность распределения вероятностей для
9.2.2.3 В соответствии с законом трансформирования неопределенностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)] наилучшей оценкой
9.2.2.4 Применение метода Монте-Карло (раздел 7) с числом испытаний
9.2.2.5 Плотность распределения вероятностей для
9.2.2.6 На рисунке 6 показана плотность распределения вероятностей для
Рисунок 6 - Приближения плотности распределения вероятностей для
9.2.2.7 В столбцах 6-8 таблицы 2 приведены результаты применения процедур проверки по 8.1 и 8.2. В соответствии с 7.9.2
В таблице 2 приведены также абсолютные значения разности верхних и нижних границ интервалов охвата, полученных способом оценивания по GUM и с помощью адаптивной процедуры метода Монте-Карло,
9.2.2.8 На рисунке 7 показана зависимость длины
Рисунок 7 - Длина 95%-ного интервала охвата в зависимости от значения функции вероятности для его левой границы в дискретном представлении
9.2.2.9 В 9.4 дан пример асимметричной плотности распределения вероятностей, для которой наименьший интервал охвата существенно отличается от вероятностно симметричного.
9.2.3 Входные величины, описываемые равномерными распределениями с одинаковым носителем
9.2.3.1 Каждой входной величине
9.2.3.2 Аналогично 9.2.2.3-9.2.2.5 получены результаты, представленные в таблице 3. Аналитическое решение для границ вероятностно симметричного 95%-ного интервала охвата, а именно,
Таблица 3 - То же, что и в таблице 2, для равномерных плотностей распределения вероятностей для
Метод | Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата | Достоверность результатов по GUM ( | |||||
GUM | - | 0,00 | 2,00 | [-3,92, 3,92] | - | - | - |
Монте-Карло | 10 | 0,00 | 2,01 | [-3,90, 3,89] | - | - | - |
Монте-Карло | 10 | 0,00 | 2,00 | [-3,89, 3,88] | - | - | - |
Монте-Карло | 10 | 0,00 | 2,00 | [-3,88, 3,88] | - | - | - |
Монте-Карло, адаптивный | 1,02·10 | 0,00 | 2,00 | [-3,88, 3,89] | 0,04 | 0,03 | Да |
Монте-Карло, адаптивный | 0,86·10 | 0,00 | 2,00 | [-3,87, 3,87] | 0,05 | 0,05 | Нет |
Аналитический | - | 0,00 | 2,00 | [-3,88, 3,88] | - | - | - |
9.2.3.3 Рисунок 8, построенный для данного случая, аналогичен рисунку 6, но в отличие от рисунка 6 можно заметить небольшие различия между аппроксимациями плотности распределения вероятностей. Способ оценивания неопределенности по GUM дает одну и ту же плотность распределения вероятностей для
Рисунок 8 - То же, что и на рисунке 6, но для равномерно распределенных входных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и одинаковыми стандартными неопределенностями
9.2.3.4 Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата, определенный по GUM, в данном случае несколько превышает интервал, полученный аналитическим расчетом. Как и в случае нормально распределенных входных величин, применена процедура проверки (таблица 3, столбцы 6-8). Как и ранее,
9.2.4 Входные величины, описываемые равномерными распределениями с различными параметрами
9.2.4.1 В таблице 4 представлены результаты для примера, аналогичного рассмотренному в 9.2.3, но когда стандартное отклонение для
Таблица 4 - То же, что и в таблице 3, в случае, когда четвертая входная величина имеет стандартное отклонение, равное десяти, и нет аналитического решения
Метод | Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата | Достоверность результатов по GUM ( | |||||
GUM | - | 0,00 | 10,1 | [-19,9, 19,9] | - | - | - |
Монте-Карло | 105* | 0,00 | 10,2 | [-17,0, 17,0] | - | - | - |
Монте-Карло | 106* | 0,00 | 10,2 | [-17,0, 17,0] | - | - | - |
Монте-Карло | 106* | 0,00 | 10,1 | [-17,0, 17,0] | - | - | - |
Монте-Карло, адаптивный | 0,03·10 | 0,01 | 10,2 | [-17,1, 17,1] | 2,8 | 2,8 | Нет |
Монте-Карло, адаптивный | 0,08·10 | 0,00 | 10,1 | [-17,0, 17,0] | 2,9 | 2,9 | Нет |
________________
* Текст документа соответствует оригиналу. - .
9.2.4.2 Число испытаний
9.2.4.3 На рисунке 9 показаны две аппроксимации плотности распределения вероятностей для
Рисунок 9 - То же, что и на рисунке 8, за исключением того, что стандартное распределение четвертой входной величины равно 10
9.2.4.4 На рисунке 9 показаны также границы вероятностно симметричного 95%-ного интервала охвата для
9.2.4.5 Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата, определенный способом оценивания неопределенности по GUM, в этом случае существенно больше полученного с использованием метода Монте-Карло. Как и ранее, применена процедура проверки (таблица 4, столбцы 6-8). В данном случае
Примечание - Условия центральной предельной теоремы [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.6.5)] в этом случае выполняются не в полной мере из-за доминирующего влияния равномерного распределения для
9.3 Калибровка массы
9.3.1 Постановка задачи
9.3.1.1 Рассмотрена калибровка гири
где
9.3.1.2 Обычно при калибровке масс используют понятие условной массы. Условная масса
9.3.1.3 В обозначениях условных масс
Формулу (23) можно представить в приближенном виде, пригодном для большинства практических ситуаций:
Если обозначить через
Примечание - Применение закона трансформирования неопределенности к "точной" модели, задаваемой формулой (23), затруднительно из-за сложного вида частных производных. К "точной" модели проще применить метод Монте-Карло, поскольку в этом случае необходимо только сформировать выходные значения модели.
9.3.1.4 Единственная доступная информация относительно эталона
Примечание - Для величины
Таблица 5 - Входные величины
Распределение | Параметры | ||||
Математическое ожидание | Стандартное отклонение | Математическое ожидание | Половина длины носителя | ||
100000,000 мг | 0,050 мг | ||||
1,234 мг | 0,020 мг | ||||
1,20 кг/м | 0,10 кг/м | ||||
8·103* кг/м | 1·103* кг/м | ||||
8,00·103* кг/м | 0,05·103* кг/м |
________________
* Текст документа соответствует оригиналу. - .
9.3.2 Трансформирование распределений и получение результатов
9.3.2.1 Способ оценивания неопределенности по GUM и адаптивная процедура метода Монте-Карло (см. 7.9) были использованы для получения оценки
Таблица 6 - Результаты вычислений для калибровки массы
Метод | Наименьший 95%-ный интервал охвата, мг | Достоверность результатов по GUM ( | ||||
GUM, с использованием членов 1-го порядка | 1,2340 | 0,0539 | [1,1285, 1,3395] | 0,0451 | 0,0430 | Нет |
Монте-Карло | 1,2341 | 0,0754 | [1,0834, 1,3825] | |||
GUM, с использованием членов более высокого порядка | 1,2340 | 0,0750 | [1,0870, 1,3810] | 0,0036 | 0,0015 | Да |
9.3.2.2 Для достижения погрешности вычисления
9.3.2.3 На рисунке 10 показана аппроксимация плотностей распределения вероятностей для
Рисунок 10 - Аппроксимации плотности распределения вероятностей для выходной величины
9.3.2.4 Результаты показывают, что, хотя способ оценивания неопределенности по GUM (с учетом членов первого порядка) и метод Монте-Карло дают очень близкие оценки
9.3.2.5 В таблице 7 приведены частные производные первого порядка функции измерения [формула (24)] по входным величинам и коэффициенты чувствительности, т.е. значения этих производных в точках наилучших оценок входных величин. Эти данные показывают, что для рассматриваемого примера при применении способа оценивания неопределенности по GUM с учетом членов первого порядка разложения может быть использована аддитивная модель
Таблица 7 - Коэффициенты чувствительности для модели измерения [формула (24)] в примере калибровки массы
Частная производная | Коэффициент чувствительности | |
1 | ||
1 | ||
0 | ||
0 | ||
0 |
Метод Монте-Карло такой аппроксимации не требует.
9.3.2.6 В трех правых столбцах таблицы 6 приведены результаты проверки (см. 8.1 и 8.2) при сохранении одной значащей цифры в
9.4 Определение коэффициента рассогласования для калибровки измерителя мощности СВЧ-сигнала методом сравнения
9.4.1 Постановка задачи
9.4.1.1 При калибровке сравнением калибруемый и эталонный измерители мощности поочередно помещают в поле стабильного генератора СВЧ-сигнала. Поглощаемая измерителями мощность в общем случае будет разной ввиду несовпадения их комплексных коэффициентов отражения по напряжению. Отношение
где
Отношение, определенное формулой (25), называют коэффициентом рассогласования, знание которого необходимо для проведения калибровки методом сравнения [1, 28].
9.4.1.2 В настоящем примере рассматривается случай отсутствия отражения эталонным измерителем и генератором сигнала, т.е. когда
9.4.1.3 На основе измерений получены наилучшие оценки
Примечание - На практике инженер-электрик может затрудняться в числовом определении ковариации. В таких случаях оценивание неопределенности может быть повторено в испытаниях с различными численными значениями коэффициента корреляции, чтобы изучить его влияние. В данном примере проведены вычисления с коэффициентом корреляции, равным нулю и 0,9 (см. 9.4.1.7).
9.4.1.4 В соответствии с 6.4.8.1 вектору случайных величин
9.4.1.5 Т.к. величины
В соответствии с физическим смыслом 0
9.4.1.6 Оценка
9.4.1.7 Рассматриваются шесть случаев, в каждом из которых
9.4.1.8 В случаях, когда
9.4.2 Трансформирование распределений и получение результатов при нулевой ковариации между входными величинами
9.4.2.1 Общие положения
9.4.2.1.1 Оценивание неопределенности основано на трансформировании распределений, реализованном:
a) аналитически (в целях сравнения);
b) использованием способа оценивания неопределенности по GUM;
c) с использованием метода Монте-Карло.
Примечание - Все указанные методы не обеспечивают получение такого распределения вероятностей для
9.4.2.1.2 Оценки
9.4.2.1.3 Способ оценивания неопределенности по GUM с использованием членов первого порядка и членов более высокого порядка разложения в ряд Тейлора применен для каждой из трех оценок
9.4.2.1.4 Метод Монте-Карло был применен в каждом из случаев с числом испытаний
9.4.2.2 Оценка входной величины
9.4.2.2.1 Для случая, когда оценка входной величины
Примечание - Аналогичная трудность возникает и при оценке
9.4.2.2.2 На рисунке 11 показана плотность распределения вероятностей для
a) аналитически (экспоненциально убывающая кривая для
b) с использованием способа оценивания неопределенности по GUM с учетом членов более высокого порядка для того, чтобы охарактеризовать выходную величину нормальной плотностью распределения (колоколообразная кривая);
c) с использованием метода Монте-Карло (гистограмма).
Рисунок 11 - Результаты оценивания для модели коэффициента рассогласования, применяемого при калибровке измерителей мощности СВЧ-сигнала, в случае
9.4.2.2.3 Из рисунка 11 видно, что использование способа оценивания неопределенности по GUM с учетом членов более высокого порядка для описания выходной величины нормальным распределением дает плотность распределения вероятностей, которая существенно отличается от полученной аналитическим решением. Аналитическое решение представляет собой частный случай распределения
9.4.2.2.4 Т.к. все частные производные функции измерения [формула (28)] порядка выше двух равны нулю, полученное решение, по существу, соответствует учету всех членов ряда Тейлора, т.е. полному учету нелинейности рассматриваемой модели. Следовательно, полученное нормальное распределение является наилучшим приближением среди всех возможных, определяемых по GUM, для описания свойств выходной величины.
9.4.2.2.5 Можно сделать вывод, что причина расхождения результатов применения аналитического метода и способа оценивания неопределенности по GUM в том, что в последнем случае для описания выходной величины использовано нормальное распределение, которое, однако, не может адекватно аппроксимировать аналитическое решение для данной конкретной задачи.
9.4.2.2.6 Из рисунка 11 видно также, что плотность распределения вероятностей, полученная методом Монте-Карло, полностью согласуется с аналитическим решением.
9.4.2.2.7 Оценки
а) аналитически;
b) с использованием способа оценивания неопределенности по GUM;
c) с применением метода Монте-Карло.
Значения оценок приведены в столбцах 2-4 строки, соответствующей
Таблица 8 - Оценки коэффициента рассогласования, полученные для входных величин с нулевой ковариацией аналитически (
Наименьший 95%-ный интервал охвата | |||||||||||
А | G | М | А | G1 | G2 | М | А | G1 | G2 | М | |
0,000 | 50 | 0 | 50 | 50 | 0 | 50 | 50 | [0, 150] | [0,0] | [-98, 98] | [0, 150] |
0,010 | 150 | 100 | 150 | 112 | 100 | 112 | 112 | - | [-96, 296] | [-119, 319] | [0, 367] |
0,050 | 2550 | 2500 | 2551 | 502 | 500 | 502 | 502 | - | [1520, 3480] | [1515, 3485] | [1590, 3543] |
9.4.2.2.8 Оценка
Примечание - Оценки для
9.4.2.2.9 На рисунке 11 показаны наименьшие 95%-ные интервалы охвата для соответствующих аппроксимаций функции распределения
9.4.2.2.10 Границы наименьших интервалов охвата, соответствующие оценкам стандартной неопределенности, приведенным в столбцах 5-8 строки, соответствующей
9.4.2.2.11 На рисунке 12 показана зависимость длины
Рисунок 12 - Длина 95%-ного интервала охвата в зависимости от значения функции вероятности для левой границы интервала охвата, построенного с использованием метода Монте-Карло для модели, описываемой формулой (28)
9.4.2.3 Оценка входной величины
9.4.2.3.1 На рисунке 13 показаны плотности распределения вероятностей, полученные способом оценивания неопределенности по GUM с использованием членов разложения только первого порядка и с использованием членов разложения более высокого порядка, а также методом Монте-Карло для случая оценки входной величины
Рисунок 13 - То же, что и на рисунке 11, но для
9.4.2.3.2 Плотность распределения вероятностей, полученная методом Монте-Карло, имеет небольшой левый склон, несмотря на то, что она обрезана в нуле, наименьшем возможном значении
9.4.2.3.3 На рисунке 13 показаны границы наименьших 95%-ных интервалов охвата, полученных с использованием вышеуказанных трех методов. Сплошные вертикальные линии показывают границы интервала, полученного методом Монте-Карло, пунктирные вертикальные линии - интервала, полученного на основе способа оценивания неопределенности по GUM с учетом членов разложения только первого порядка, а штрих-пунктирные вертикальные линии - интервала, полученного на основе того же способа по GUM, но с учетом членов разложения более высокого порядка. Интервалы, полученные на основе способа оценивания неопределенности по GUM, несколько смещены влево по сравнению с интервалом, полученным методом Монте-Карло. Как и в предыдущем случае, они включают в себя физически невозможные значения
9.4.2.3.4 Соответствующие значения границ интервалов приведены в предпоследней строке таблицы 8.
9.4.2.4 Оценка входной величины
9.4.2.4.1 Рисунок 14 аналогичен рисунку 13, но отражает результаты, полученные для
Рисунок 14 - То же, что и на рисунке 13, но для
9.4.2.4.2 Соответствующие значения границ интервалов приведены в последней строке таблицы 8.
9.4.2.5 Анализ результатов
По мере удаления
Примечание 1 - Случай
Примечание 2 - Поскольку модель симметрична относительно
Примечание 3 - Одной из причин, почему способ оценивания неопределенности по GUM с учетом только членов разложения первого порядка используется на практике, является легкодоступность соответствующих программных средств. Причем в некоторых ситуациях результаты, получаемые в рамках такого подхода, не вызывают вопросов. Для случая же, когда
9.4.3 Трансформирование распределений и получение результатов при ненулевой ковариации между входными величинами
9.4.3.1 Общие положения
9.4.3.1.1 Описанные выше методы (см. 9.4.2) были применены для случая, когда
9.4.3.1.2 Оценку
Следовательно,
9.4.3.1.3 Метод Монте-Карло основан на формировании случайных элементов вектора
Примечание - Не принимая во внимание необходимость формирования случайной выборки из многомерного распределения, реализация метода Монте-Карло для случая коррелированных входных величин будет не намного сложнее, чем для не коррелированных.
9.4.3.2 Оценки входных величин
9.4.3.2.1 Полученные результаты приведены в таблице 9. Результаты, полученные на основе метода Монте-Карло, показывают, что, хотя
Таблица 9 - Оценки коэффициента рассогласования, полученные для входных величин с ненулевой ковариацией [
Наименьший 95%-ный интервал охвата | |||||||||
А | G | М | А | G | М | А | G | М | |
0,000 | 50 | 0 | 50 | 67 | 0 | 67 | - | [0, 0] | [0, 185] |
0,010 | 150 | 100 | 150 | 121 | 100 | 121 | - | [-96, 296] | [13, 398] |
0,050 | 2550 | 2500 | 2551 | 505 | 500 | 504 | - | [1520, 3480] | [1628, 3555] |
9.4.3.2.2 На рисунках 15 и 16 показаны плотности распределения вероятностей, полученные на основе способа оценивания неопределенности по GUM с учетом членов разложения первого порядка (колоколообразные кривые) и методом Монте-Карло (гистограммы) для случаев
Примечание - Строго говоря, условия, при которых
Рисунок 15 - Результаты оценивания для модели коэффициента рассогласования, применяемого при калибровке измерителей мощности СВЧ-сигнала, в случае
Рисунок 16 - То же, что и на рисунке 15, но для
9.4.3.3 Анализ результатов
В случае
9.5 Калибровка концевой меры длины
9.5.1 Постановка задачи: модель измерения
9.5.1.1 Длину концевой меры номиналом 50 мм определяют ее сопоставлением с известным эталоном того же номинала. Непосредственный результат сопоставления длин двух концевых мер представляет собой разность
где
Примечание 1 - В GUM рассматривается та же измерительная задача (раздел Н.1).
Примечание 2 - Для длины концевой меры в настоящем подразделе применено обозначение
9.5.1.2 В соответствии с формулой (29) выходная величина
а в качестве приближения формулы (30), применимого в большинстве практических ситуаций, может быть использована формула
Если разность температур калибруемой концевой меры и эталона обозначить как
9.5.1.3 Оценку разности
где
9.5.1.4 Величина
где
9.5.1.5 Подставляя формулы (34) и (35) в формулы (32) и (33) и введя обозначение
или
Эти зависимости могут быть рассмотрены как модели измерительной задачи.
9.5.1.6 Выходной величиной для моделей (36) и (37) является
9.5.2 Постановка задачи: приписывание плотностей распределения вероятностей входным величинам
9.5.2.1 Общие положения
В последующих подпунктах приведена информация о каждой входной величине моделей, соответствующих формулам (36) и (37). Используемая информация основана на описании, приведенном в GUM, и каждый раз дается ссылка на соответствующий структурный элемент GUM, откуда эта информация взята. Кроме того, показано, каким образом указанная информация используется при выборе распределения входных величин. Все сведения, связанные с приписыванием распределений входным величинам моделей измерений, собраны в таблицу 10.
Таблица 10 - Плотности распределения вероятностей для входных величин для моделей концевых мер длины (36) и (37) на основе доступной информации (9.5.2.1). (Основная информация о плотностях распределения вероятностей приведена в таблице 1)
Вели- | Плотность распределения | Параметры распределения | |||||
50000623 нм | 25 нм | 18 | |||||
215 нм | 6 нм | 24 | |||||
0 нм | 4 нм | 5 | |||||
0 нм | 7 нм | 8 | |||||
9,5·10 | 13,5·10 | ||||||
-0,1 °С | 0,2 °С | ||||||
-0,5 °С | 0,5 °С | ||||||
-1,0·10 | 1,0·10 | 0,1·10 | |||||
-0,050 °С | 0,050 °С | 0,025 °С |
9.5.2.2 Длина
9.5.2.2.1 Исходная информация
В сертификате о калибровке для эталона указана оценка его длины при 20 °С
9.5.2.2.2 Выбор распределения
Величине
9.5.2.3 Средняя разность длин
9.5.2.3.1 Исходная информация
Выборочное среднее
9.5.2.3.2 Выбор распределения
Величине
9.5.2.4 Случайное влияние
9.5.2.4.1 Исходная информация
Согласно сертификату о калибровке компаратора, используемого для сравнения
9.5.2.4.2 Выбор распределения
Величине
Значение
9.5.2.5 Систематическое влияние
9.5.2.5.1 Исходная информация
В сертификате указана неопределенность компаратора, связанная со систематическими эффектами. Она составила 0,02 мкм "на уровне трех сигма" [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (Н.1.3.2)]. Возможную неточность в заявленном значении неопределенности можно принять равной 25%, и, таким образом, число эффективных степеней свободы составит
9.5.2.5.2 Выбор распределения
Величине
9.5.2.6 Коэффициент температурного расширения
9.5.2.6.1 Исходная информация
Оценка коэффициента температурного расширения эталона указана в виде
9.5.2.6.2 Выбор распределения
Величине
Примечание - Из-за отсутствия информации о достоверности границ распределения выбрано равномерное распределение с точно известными границами. Информация о границах распределения могла быть опущена в описании примера, рассмотренном в GUM, по той причине, что соответствующий данной входной величине коэффициент чувствительности был принят равным нулю, и, таким образом, данная величина не могла оказать влияния на результат оценивания неопределенности по GUM с учетом только членов разложения первого порядка.
9.5.2.7 Среднее отклонение температуры
9.5.2.7.1 Исходная информация
Температура измерительного стола указана равной (19,9±0,5) °С. Указано также, что оценка среднего отклонения температуры
9.5.2.7.2 Выбор распределения
Величине
Примечание - Нормальное распределение выбрано из-за отсутствия информации об источнике оценки неопределенности для
9.5.2.8 Влияние циклических колебаний температуры
9.5.2.8.1 Исходная информация
Температура измерительного стола указана равной (19,9±0,5) °С. Указано также, что максимальный сдвиг температуры
9.5.2.8.2 Выбор распределения
Величине
Примечание - Из-за отсутствия информации о достоверности границ выбрано U-образное распределение с точно известными границами. Такая информация могла быть в GUM опущена по той же причине, что указана в примечании к 9.5.2.6.2.
9.5.2.9 Разность коэффициентов расширения
9.5.2.9.1 Исходная информация
Оценки границ изменчивости
9.5.2.9.2 Выбор распределения
Величине
Основой для выбора значения параметра
9.5.2.10 Разность температур
9.5.2.10.1 Исходная информация
Эталон и калибруемая концевая мера в среднем имеют одну и ту же температуру, однако разность их температур
9.5.2.10.2 Выбор распределения
Величине
Основой для выбора значения параметра
9.5.3 Трансформирование распределений и получение результатов
9.5.3.1 Способ оценивания неопределенности по GUM
Применение способа оценивания неопределенности по GUM основано на:
- использовании членов первого порядка в аппроксимации функции измерения [формула (36) или (37)] рядом Тейлора;
- вычислении неопределенности на основе закона трансформирования неопределенностей с использованием формулы Уэлча-Саттертуэйта для оценки числа эффективных степеней свободы (с округлением в сторону уменьшения);
- использовании для выходной величины масштабированного смещенного
9.5.3.2 Метод Монте-Карло
Применение метода Монте-Карло включает в себя:
- формирование выборок из равномерного распределения (см. 6.4.2.4 и С.3.3), нормального распределения (см. 6.4.7.4 и раздел С.4),
- использование адаптивной процедуры метода Монте-Карло (см. 7.9) с погрешностью вычисления (
9.5.4 Результаты
9.5.4.1 В таблице 11 приведены результаты, полученные для модели, описанной формулой (37), с использованием информации, приведенной в таблице 10. На рисунке 17 показаны плотности распределения вероятностей для
Таблица 11 - Результаты, полученные для модели, описываемой формулой (37), с использованием информации, приведенной в таблице 10
Метод | Наименьший 99%-ный интервал охвата для | ||
GUM | 838 | 32 | [746, 931] |
Монте-Карло | 838 | 36 | [745, 932] |
Рисунок 17 - Распределение
9.5.4.2 В адаптивной процедуре метода Монте-Карло было выполнено 1,26·10
9.5.4.3 Результаты, полученные для нелинейной модели [формула (36)], идентичны результатам таблицы 11 для заданного числа значащих цифр.
9.5.4.4 В полученных результатах существуют умеренные различия. В случае применения метода Монте-Карло
Приложение А
(справочное)
Историческая справка
А.1 GUM представляет собой документ, охватывающий многие вопросы, в той или иной степени связанные с оценкой неопределенности. Несмотря на то, что в нем отсутствуют явные ссылки на метод Монте-Карло, использование этого метода изначально предполагалось при разработке GUM. Проект GUM (первое издание) от июня 1992 г., выпущенный ISO/TAG 4/WG 3, констатирует [G.1.5]:
"Если зависимость между
А.2 В опубликованной версии GUM этот подраздел был заменен на следующий:
"Если функциональная зависимость между
А.3 В настоящем стандарте внесенная формулировка "другие аналитические или численные методы" рассматривается как возможность использовать все подходящие методы оценивания неопределенности в дополнение к установленному в самом GUM. Это согласуется с позицией Национального Института стандартов и технологий США (НИСТ) [50]:
"[6.6] Позиция НИСТ предусматривает следующие исключения из упомянутого правила: (см. приложение С):
"Очевидно, что любой обоснованный статистический метод, применение которого технически оправдано в существующих условиях, может быть использован для определения эквивалента
Приложение В
(справочное)
Коэффициенты чувствительности и бюджет неопределенности
В.1 Ни сам закон трансформирования распределений, ни его реализация с использованием метода Монте-Карло не предполагают получения значений коэффициентов чувствительности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.3)]. Однако зафиксировав все входные величины, кроме одной, в точке их наилучшей оценки, можно использовать метод Монте-Карло для получения плотности распределения вероятностей для выходной величины модели с единственной входной величиной в качестве независимой переменной [8]. Отношение стандартного отклонения значений на выходе модели (см. 7.6) к стандартной неопределенности для наилучшей оценки входной величины может быть принято за коэффициент чувствительности. Это отношение соответствует тому, которое было бы получено при использовании представления функции измерения рядом Тейлора с членами разложения всех высших порядков. Данный подход можно рассматривать как обобщение приближенной формулы с частными производными в GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание 2 к 5.1.3)]. В общем случае и коэффициенты чувствительности, и вклады каждой входной величины в неопределенность оценки выходной величины будут отличаться от тех, что получены по GUM.
В.2 В практике многих измерений принято указывать перечень составляющих неопределенности
Приложение С
(справочное)
Формирование выборок из распределений вероятностей
С.1 Общие положения
С.1.1 В настоящем приложении приведены рекомендации по формированию выборки в соответствии с заданной функцией распределения вероятностей. Формирование такой выборки представляет собой ключевой момент при трансформировании распределений с использованием метода Монте-Карло. В качестве источников информации можно использовать [37] (сборник таблиц математических функций) и [38] (библиотека соответствующих программ).
С.1.2 Генератор псевдослучайных чисел для любого распределения, в том числе, для рассмотренных в 6.4 (см. таблицу 1), может теоретически быть получен на основе заданной функции распределения и генератора выборки для равномерного распределения (см. С.2). Генератор для равномерного распределения рассматривается в С.3.3. Для некоторых распределений, таких как нормальное распределение или
Примечание - Настоящий стандарт не ограничивает возможности использования генераторов, отличных от описанных в данном приложении. Однако перед их использованием необходимо убедиться в том, что генерируемые ими последовательности обладают достаточно хорошими статистическими свойствами. Средства тестирования генератора псевдослучайных чисел для равномерного распределения указаны в С.3.2.
С.2 Распределения общего вида
Выборка для любой строго возрастающей одномерной непрерывной функции распределения
a) выбирают случайное число
b) определяют
Примечание 1 - Требуемая на этапе b) обратная функция
Пример - Входной величине
Примечание 2 - Численно значение
Примечание 3 - При использовании генератора случайных чисел из равномерного распределения для получения выборки псевдослучайных чисел из другого распределения следует помнить, что выпадение значения
С.3 Равномерное распределение
С.3.1 Общие положения
С.3.1.1 Генератор для равномерного распределения является основой для получения псевдослучайных чисел из любого распределения (см. разделы С.2, С.4 и С.6) при наличии соответствующего алгоритма или формулы. При этом качество получаемой выборки из произвольного распределения зависит от качества работы генератора для равномерного распределения и свойств используемого алгоритма преобразования. Таким образом, только генератор, способный воспроизводить выборку из равномерного распределения с хорошими свойствами вместе с хорошим алгоритмом, обеспечивает генерирование псевдослучайных чисел, хорошо согласующихся с заданным распределением.
С.3.1.2 Отсюда вытекает важность тестирования генератора псевдослучайных чисел для равномерного распределения [31]. Если пользователь не уверен в качестве работы генератора, то его не следует использовать до тех пор, пока соответствующее тестирование не будет проведено. В противном случае не исключено получение ошибочных результатов. Рекомендуется использовать средства тестирования согласно [30]. В С.3.3 приведена процедура генерирования псевдослучайных чисел для равномерного распределения, которая успешно прошла указанное тестирование и проста в применении.
С.3.1.3 Параметры процедуры генерирования псевдослучайных чисел, соответствующих равномерному распределению
Таблица С.1 - Процедура генерирования псевдослучайных чисел для стандартного равномерного распределения
Входной параметр |
Входной/выходной параметр |
Выходной параметр |
Примечание 1 - При задании одного и того же начального числа результатом может быть генерирование одной и той же последовательности случайных чисел. Этот факт является важным элементом регрессионного тестирования, используемого для определения согласованности результатов, полученных программным средством, с результатами предыдущих версий.
Примечание 2 - Некоторые генераторы псевдослучайных чисел при каждом обращении выдают одно случайное, а некоторые - последовательность значений.
С.3.1.4 Псевдослучайное число
С.3.2 Проверка качества случайной выборки
С.3.2.1 Каждый генератор псевдослучайных чисел должен:
a) обладать хорошими статистическими свойствами;
b) предусматривать возможность реализации на любом языке программирования;
c) давать одни и те же результаты для одного и того же начального числа на любом компьютере.
Желательно также, чтобы он был компактным, т.е. простым при реализации. Одним из таких генераторов, близко приближающихся к удовлетворению перечисленных требований, является генератор Вихманна-Хилла [52, 53]. Он использовался во многих приложениях, включая вычисление неопределенности. Однако длина его цикла (количество генерируемых псевдослучайных чисел до их повторения) составляет 2
Примечание - Период последовательности значений, полученных с помощью генератора псевдослучайных чисел, - это количество последовательных псевдослучайных чисел до их повторения.
С.3.2.2 Для комплексной проверки статистических свойств генератор тестируют пакетом программ TestU01 [30]. Этот программный продукт весьма детализирован и включает в себя большое количество статистических тестов, в том числе расширенный пакет краш-тестирования BigCrush. Некоторые генераторы, успешно выдержавшие это тестирование, приведены в списке, составленном Вихманном и Хиллом [54]. В их число входит и усовершенствованный генератор Вихманна-Хилла (см. С.3.3), обладающий следующими свойствами [54]:
a) его просто реализовать на любом языке программирования, он не зависит от побитовых операций, используемых в некоторых генераторах;
b) структура генератора (количество информации, сохраняемой генератором между запросами) невелика и легка в обращении (сравни с параметром
c) он позволяет легко получить несколько последовательностей, необходимых для высокопараллельных приложений, что, вероятно, будет особенностью вычислений неопределенности в будущем;
d) существуют варианты генератора для 32-разрядных и 64-разрядных компьютеров.
С.3.3 Процедура генерирования выборки псевдослучайных чисел из равномерного распределения
С.3.3.1 Как и его предшественник, улучшенный генератор Вихманна-Хилла представляет собой комбинацию конгруэнтных генераторов. Новый генератор сочетает в себе четыре таких генератора, тогда как предыдущая версия сочетала три. Новый генератор имеет период 2
С.3.3.2 В таблице С.2 приведено описание улучшенного генератора Вихманна-Хилла для получения псевдослучайных чисел из
Таблица С.2 - Улучшенный генератор Вихманна-Хилла для псевдослучайных чисел из равномерного распределения на интервале (0,1) для 32-разрядного компьютера
Входной параметр | |
Нет | |
Входные/выходные параметры | |
Целочисленные параметры, которые требуются в качестве входных величин и изменяются в процессе выполнения процедуры. Перед первым обращением к процедуре им присваивают значения от 1 до 2147483647. Между обращениями значения параметров остаются неизменными. Пользователю обычно нет необходимости знать, как изменяются значения этих параметров, используемых в процедуре генерирования псевдослучайных чисел. Данные параметры могут быть реализованы как глобальные переменные и не входить явно в формальные параметры процедуры. | |
Константы | |
Четырехмерные векторы с целочисленными координатами, т.е. | |
Между обращениями значения констант остаются неизменными. | |
Выходной параметр | |
Псевдослучайное число из | |
Алгоритм вычисления | |
а) Для |
С.3.3.3 Для 64-разрядных компьютеров шаг а) вычисления, включая (i) и (ii), в таблице С.2 должен быть заменен более простым шагом:
"а) Для
С.4 Нормальное распределение
Процедура, описанная в таблице С.3, обеспечивает выбор случайных значений из стандартного нормального распределения
Таблица С.3 - Генератор псевдослучайных чисел Бокса-Мюллера
Входной параметр | |
Нет | |
Выходной параметр | |
Два случайных значения, полученных независимо из стандартного нормального распределения | |
Алгоритм вычисления | |
а) Независимо генерируют случайные числа |
С.5 Многомерное нормальное распределение
С.5.1 Из всех многомерных распределений наибольший интерес представляет совместное нормальное распределение
С.5.2 Значения случайной величины из
Таблица С.4 - Генератор случайных чисел из многомерного нормального распределения
Входной параметр | |
Размерность многомерного нормального распределения | |
Вектор математических ожиданий размерности | |
Ковариационная матрица размерности | |
Число генерируемых векторов, состоящих из псевдослучайных чисел | |
Выходной параметр | |
Матрица размерности | |
Алгоритм вычисления | |
а) Для матрицы b) Генерируют массив с) Вычисляют где |
Примечание 1 - Если
Примечание 2 - Если
Примечание 1 - Если
С.5.3 На рисунке С.1 показано 200 точек, полученных с использованием генератора MULTNORM [45] из
Рисунок С.1 - Выборка значений из двумерного нормального распределения с положительной корреляцией
Это совместное распределение двух положительно коррелированных величин. Подобные генераторы описаны в других источниках [12].
С.5.4 На рисунке С.1 точки образуют вытянутый наклонный эллипс. Если недиагональные элементы матрицы
С.6
Процедура, описанная в таблице С.5, представляет метод [29], [44, страница 63] генерирования выборки из
Таблица С.5 - Генератор псевдослучайных чисел для
Входной параметр | |
Число степеней свободы | |
Выходной параметр | |
Выборка из | |
Алгоритм вычисления | |
а) Независимо генерируют случайные числа b) Если с) Если |
Примечание - Чтобы стандартное отклонение
Приложение D
(справочное)
Непрерывная аппроксимация функции распределения выходной величины
D.1 В некоторых случаях предпочтительнее работать не с дискретным представлением
Примечание - Преимущества работы с непрерывной аппроксимацией состоят, например, в том, что:
a) выборка из заданного распределения может быть выполнена без необходимости округления, как в случае дискретного представления;
b) для определения наименьшего интервала охвата могут быть использованы численные методы, требующие для своей работы непрерывность функции распределения.
D.2 Чтобы сформировать
a) значениям
b) формируют
_______________
* Нумерация соответствует оригиналу. - .
Примечание - Формула (D.1) может быть использована как основа формирования выборки из
D.3 На рисунке D.1 показан график
Рисунок D.1 - Аппроксимация
D.4 На основе приближения
где двойной штрих справа от символа суммирования показывает, что первый и последний члены суммы необходимо брать с коэффициентом 1/2.
Примечание - Для достаточно больших значений
D.5 Если
Тогда посредством обратной линейной интерполяции получаем:
Аналогично, верхнюю границу
где индекс
D.6 Значение
D.7 Наименьший интервал охвата может в общем случае быть получен на основе
D.8 Вычисление интервала охвата становится проще, если
Приложение Е
(справочное)
Интервал охвата для свертки четырех прямоугольных распределений
Е.1 В 9.2.3.2 проведено аналитическое решение в виде
представляющее собой границы вероятностно симметричного 95%-ного интервала охвата для выходной величины
Е.2 Плотность равномерного распределения
где
В частности, на интервале 0
(на интервалах между другими узлами искомое распределение также будет иметь вид кубических полиномов, но другой формы), следовательно,
(см. также [6]).
Е.3 Левая граница
Эту площадь можно записать в виде
таким образом,
С учетом симметрии распределения для правой границы интервала охвата получаем
Таким образом, вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата имеет вид:
Распределение для каждой из входных величин с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением имеет вид
Приложение F
(справочное)
Задача определения коэффициента рассогласования
В настоящем приложении рассматриваются некоторые детали задачи определения коэффициента рассогласования при калибровке измерителя мощности (см. 9.4). В разделе F.1 получены математическое ожидание и стандартное отклонение
F.1 Аналитическое решение для математического ожидания и стандартного отклонения
F.1.1 Дисперсия величины
Таким образом,
где
Этот результат справедлив независимо от:
- функций распределения
- наличия или отсутствия корреляции между
F.1.2 Стандартная неопределенность для
где для
Если
F.1.3 Если
_______________
* Формула соответствует оригиналу. - .
Формула (F.2) может быть проверена применением формулы (10) из GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)] и непосредственно следующей за ней формулой из GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)].
F.2 Аналитическое решение для случая нулевой оценки коэффициента отражения по напряжению при нулевой ковариации
F.2.1 Для случая
F.2.2 Член в квадратных скобках, который можно обозначить
где
F.2.3 Применение общей формулы для плотности распределения вероятностей функции случайной величины [42, стр.57-61] в случае дифференцируемой и строго возрастающей функции аргумента (в данном случае
F.2.4 Это позволяет получить выражения для математического ожидания и дисперсии для
Таким образом, стандартное отклонение составляет
F.2.5 Интегрирование плотности распределения вероятностей дает функцию распределения следующего вида:
F.2.6 Если
и 100
Длина этого интервала будет равна
F.2.7 Наименьший 100
Для
F.2.8 Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата для
Он на 20% длиннее, чем наименьший 95%-ный интервал охвата.
Примечание - Приведенный выше анализ демонстрирует аналитический вывод, применимый к некоторым задачам подобного типа. В данном частном случае результаты могли бы быть получены быстрее, если принять во внимание факт, что
F.3 Применение способа оценивания неопределенности по GUM к задаче определения коэффициента рассогласования
F.3.1 Некоррелированные входные величины
F.3.1.1 В задаче определения коэффициента рассогласования, рассмотренной в 9.4, в качестве модели измерения использована следующая:
где величинам
F.3.1.2 Применение GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.1)] дает
в качестве оценки
F.3.1.3 Следовательно, в соответствии с GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)] для стандартной неопределенности
основанное на аппроксимации
В результате формула (F.5) принимает вид
F.3.1.4 Поскольку
F.3.2 Коррелированные входные величины
F.3.2.1 Если входные величины коррелированны, то матрица неопределенностей для наилучших оценок входных величин определена формулой (27).
F.3.2.2 Применяя GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.2.2)], можно получить:
Приложение G
(справочное)
Основные обозначения
случайная величина, представляющая собой нижнюю границу равномерного распределения с неточно заданными пределами | |
нижняя граница области, в пределах которой находится случайная величина | |
центральная точка интервала, о котором известно, что в нем лежит нижняя граница | |
случайная величина, представляющая собой верхнюю границу равномерного распределения с неточно заданными пределами | |
верхняя граница области, в пределах которой находится случайная величина | |
центральная точка интервала, о котором известно, что в нем лежит верхняя граница | |
равномерное распределение с неточно заданными границами с параметрами | |
ковариация случайных величин | |
целое десятичное число с | |
половина длины интервалов, о которых известно, что в них лежат нижняя | |
абсолютная разность значений правосторонних границ интервалов охвата, полученных на основе способа оценивания неопределенности по GUM и по методу Монте-Карло | |
абсолютная разность значений левосторонних границ интервалов охвата, полученных на основе способа оценивания неопределенности по GUM и по методу Монте-Карло | |
математическое ожидание случайной величины | |
вектор математического ожидания векторной случайной величины | |
экспоненциальное распределение с параметром | |
функция измерения, связывающая выходную величину модели | |
дискретное представление функции распределения | |
гамма-распределение с параметрами | |
плотность распределения вероятностей переменной | |
совместная (многомерная) плотность распределения переменной | |
плотность распределения вероятностей переменной | |
функция распределения переменной | |
непрерывная аппроксимация функции распределения | |
плотность распределения вероятностей переменной | |
производная от | |
наименьшее целое, большее или равное | |
коэффициент охвата, соответствующий вероятности охвата | |
целое число в представлении | |
число испытаний метода Монте-Карло | |
число входных величин | |
стандартное нормальное распределение | |
нормальное распределение с параметрами | |
многомерное нормальное распределение с параметрами | |
число наблюдений | |
количество значащих цифр числа, рассматриваемых как достоверные | |
вероятность события | |
вероятность охвата | |
целая часть числа | |
число объектов в выборке (объем выборки) | |
верхняя треугольная матрица | |
стандартное равномерное распределение на интервале [0, 1] | |
равномерное распределение на интервале | |
коэффициент корреляции оценок | |
оценка стандартного отклонения по | |
объединенная оценка стандартного отклонения по нескольким сериям наблюдений | |
верхний индекс, обозначающий транспонирование матрицы | |
стандартное отклонение для среднего | |
треугольное распределение на интервале | |
трапецеидальное распределение на интервале | |
масштабированное смещенное | |
стандартное арксинусное ( | |
арксинусное ( | |
расширенная неопределенность, соответствующая вероятности охвата | |
матрица неопределенности для вектора оценок | |
вектор | |
стандартная неопределенность оценки | |
ковариация оценок | |
стандартная неопределенность оценки | |
стандартная неопределенность | |
суммарная стандартная неопределенность оценки | |
ковариационная (дисперсионно-ковариационная) матрица | |
дисперсия случайной переменной | |
ковариационная матрица векторной случайной величины | |
половина длины интервала | |
входная величина, рассматриваемая как случайная величина | |
вектор | |
оценка (математическое ожидание) величины | |
векторная оценка (векторное математическое ожидание) | |
среднее арифметическое | |
оценка (математическое ожидание) величины | |
(скалярная) выходная величина, рассматриваемая как случайная величина | |
оценка (математическое ожидание) величины | |
оценка величины | |
правосторонняя граница интервала охвата для | |
левосторонняя граница интервала охвата для | |
значение вероятности | |
параметр гамма-распределения | |
параметр трапецеидального распределения, равный отношению длины верхнего основания трапеции к длине нижнего основания трапеции | |
параметр гамма-распределения | |
гамма-функция переменной | |
предел погрешности вычисления числового значения | |
дельта-функция Дирака переменной | |
переменная, описывающая возможные значения выходной величины | |
половина длины верхнего основания трапеции трапецеидального распределения | |
половина длины нижнего основания трапеции трапецеидального распределения | |
математическое ожидание случайной величины | |
число степеней свободы | |
число эффективных степеней свободы, соответствующих стандартной неопределенности | |
число степеней свободы для объединенной оценки стандартного отклонения | |
переменная, описывающая возможные значения случайной величины | |
векторная величина | |
переменная, описывающая возможные значения входной величины | |
стандартное отклонение случайной величины, характеризуемой распределением вероятностей | |
дисперсия (квадрат стандартного отклонения) случайной величины | |
фаза гармонически изменяющейся величины | |
распределение хи-квадрат с |
Приложение ДА
(справочное)
Сведения о соответствии ссылочных международных документов национальным стандартам Российской Федерации
Таблица ДА.1
Обозначение ссылочного международного документа | Степень соответствия | Обозначение и наименование соответствующего национального стандарта |
Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 | IDT | ГОСТ Р 54500.3-2011 (Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008) "Неопределенность измерения. Часть 1. Руководство по выражению неопределенности измерения" |
Руководство ИСО/МЭК 99:2007 | - | * |
* Соответствующий национальный стандарт отсутствует. До его утверждения рекомендуется использовать перевод на русский язык данного международного стандарта. Перевод данного международного стандарта находится в Федеральном информационном фонде технических регламентов и стандартов. Примечание - В настоящей таблице использовано следующее условное обозначение степени соответствия стандартов: - IDT - идентичные стандарты. |
Библиография
[1] | Beatty, R.W. Insertion loss concepts. Proc. IEEE 52, 1964, pp.663-671 |
[2] | Berthouex, P.M. and Brown, L.C. Statistics for Environmental Engineers. CRC Press, USA, 1994 |
[3] | Box, G. E. P. and Muller, M. A note on the generation of random normal variates. Ann. Math. Statist., 29, 1958, pp.610-611 |
[4] | Chan, A., Golub, G. and Leveque, R. Algorithms for computing the sample variance: analysis and recommendations. Amer. Stat., 37, 1983, pp.242-247 |
[5] | Conte, S.D. and De Boor, С. Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach. McGraw-Hill, 1972 |
[6] | Cox, M.G. The numerical evaluation of B-splines. J. Inst. Math. Appl. 10, 1972, pp.134-149 |
[7] | Cox, M.G. and Harris, P.M. Software specifications for uncertainty evaluation. Tech. Rep. DEM-ES-010, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2006 |
[8] | Cox, M.G. and Harris, P.M. SSfM Best Practice Guide No. 6, Uncertainty evaluation. Tech. Rep. DEM-ES-011, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2006 |
[9] | Cox, M.G. and Siebert, B. R. L. The use of a Monte Carlo method for evaluating uncertainty and expanded uncertainty. Metrologia, 43, 2006, pp.S178-S188 |
[10] | David, H.A. Order Statistics. Wiley, New York, 1981 |
[11] | Dekker, T.J. Finding a zero by means of successive linear interpolation. In: Constructive Aspects of the Fundamental Theorem of Algebra (eds Dejon B. and Henrici P.), Wiley Interscience, London, 1969 |
[12] | Devroye, L. Non-Uniform Random Number Generation. Springer, New York, 1986 |
[13] | Dietrich, C.F. Uncertainty, Calibration and Probability. Adam Hilger, Bristol, UK, 1991 |
[14] | Dowson, D.C. and Wragg, A. Maximum entropy distributions having prescribed first and second order moments. IEEE Trans. IT, 19, 1973, pp.689-693 |
[15] | EA. Expression of the uncertainty of measurement in calibration. Tech. Rep. EA-4/02, European Cooperation for Accreditation, 1999 |
[16] | Elster, С. Calculation of uncertainty in the presence of prior knowledge. Metrologia, 44, 2007, pp.111-116 |
[17] | EURACHEM/CITAC. Quantifying uncertainty in analytical measurement. Tech. Rep. Guide CG4, EURACHEM/CITEC, 2000. Second edition |
[18] | Evans, M., Hastings, N. and Peacock, B. Statistical distributions. Wiley, 2000 |
[19] | FRENKEL, R.B. Statistical background to the ISO 'Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement'. Tech. Rep. Monograph 2, NML Technology Transfer Series, Publication number TIP P1242, National Measurement Laboratory, CSIRO, Australia, 2002 |
[20] | Gelman, A., Carlin, J.B., Stern, H.S. and Rubin, D.B. Bayesian Data Analysis. Chapman and Hall, London, 2004 |
[21] | Gleser, L.J. Assessing uncertainty in measurement. Stat. Sci., 13, 1998, pp.277-290 |
[22] | Hall, B.D. and Willink, R. Does "Welch-Satterthwaite" make a good uncertainty estimate? Metrologia, 38, 2001, pp.9-15 |
[23] | Higham, N.J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. SIAM, Philadelphia, 1996 |
[24] | ISO 3534-1:19932) Statistics - Vocabulary and symbols - Part 1: Probability and general statistical terms |
[25] | Jaynes, E. T. Information theory and statistical mechanics. Phys. Rev, 106, 1957, pp.620-630 |
[26] | Jaynes, E.T. Where do we stand on maximum entropy? In Papers on Probability, Statistics, and Statistical Physics (Dordrecht, The Netherlands, 1989), R. D. Rosenkrantz, Ed., Kluwer Academic, pp.210-314. http://bayes.wustl.edu/ etj/articles/stand.on.entropy.pdf |
[27] | Kacker, R. and Jones, A. On use of Bayesian statistics to make the Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement consistent. Metrologia, 40, 2003, pp.235-248 |
[28] | Kerns, D.M. and Beatty, R.W. Basic Theory of Waveguide Junctions and Introductory Microwave Network Analysis. Pergamon Press, London, 1967 |
[29] | Kinderman, A., Monahan, J. and Ramage, J. Computer methods for sampling from Student's t-distribution. Math. Comput, 31, 1977, pp.1009-1018 |
[30] | L'Ecuyer, P. and Simarf, R. TestU01: A software library in ANSI С for empirical testing of random number generators. http://www.iro.umontreal.ca/~simardr/testu01/tu01.html |
[31] | Leydold, J. Automatic sampling with the ratio-of-uniforms method. ACM Trans. Math. Software, 26, 2000, pp.78-98 |
[32] | Lira, I. Evaluating the Uncertainty of Measurement. Fundamentals and Practical Guidance. Institute of Physics, Bristol, UK, 2002 |
[33] | Lira, I.H. and Woger, W. Bayesian evaluation of the standard uncertainty and coverage probability in a simple measurement model. Meas. Sci. Technol., 12, 2001, pp.1172-1179 |
[34] | Matsumoto, M. and Nishimura, T. Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator. ACM Trans. Modeling and Computer Simulation 8 (1998), pp.3-30 |
[35] | McCullough, B.D. and Wilson, B. On the accuracy of statistical procedures in Microsoft Excel 2003. Computational Statistics and Data Analysis, 2004 |
[36] | Moler, C.B. Numerical computing with MATLAB. SIAM, Philadelphia, 2004 |
[37] | NETLIB. The Netlib repository of freely available software, documents, and databases of interest to the numerical, scientific computing, and other communities contains facilities for sampling from probability distributions, http://www.netlib.org |
[38] | NIST. The NIST Digital Library of Mathematical Functions contains facilities for sampling from probability distributions, http://dlmf.nist.gov |
[39] | OIML. Conventional value of the result of weighing in air. Tech. Rep. OIML D 28, Organisation Internationale de Metrologie Legale, Paris, 2004 |
[40] | Papoulis, A. On an extension of Price's theorem. IEEE Trans. Inform. Theory IT-11, 1965 |
[41] | Price, R. A useful theorem for nonlinear devices having Gaussian inputs. IEEE Trans. Inform. Theory IT-4, 1958, pp.69-72 |
[42] | Rice, J. R. Mathematical Statistics and Data Analysis, second ed. Duxbury Press, Belmont, Ca., USA, 1995 |
[43] | Ridler, N.M. and Salter, M.J. Propagating S-parameter uncertainties to other measurement quantities. In: 58th ARFTG (Automatic RF Techniques Group) Conference Digest (2001) |
[44] | Robert, C.P. and Casella, G. Monte Carlo Statistical Methods. Springer-Verlag, New York, 1999 |
[45] | Salter, M.J., Ridler, N.M. and Cox, M.G. Distribution of correlation coefficient for samples taken from a bivariate normal distribution. Tech. Rep. CETM 22, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2000 |
[46] | Schoenberg, I.J. Cardinal interpolation and spline functions. J. Approx. Theory, 2, 1969, pp.167-206 |
[47] | Scowen, R.S. Algorithm 271: quickersort. Communications of the ACM, 8(11), 1965, pp.669-670 |
[48] | Shannon, C.E. A mathematical theory of information. Bell Systems Tech. J., 27, 1948, pp.623-656 |
[49] | Strang, G. and Borre, K. Linear Algebra, Geodesy and GPS. Wiley, Wellesley-Cambridge Press, 1997 |
[50] | Taylor, B.N. and Kuyatt, C.E. Guidelines for evaluating and expressing the uncertainty of NIST measurement results. Tech. Rep. TN1297, National Institute of Standards and Technology, USA, 1994 |
[51] | Weise, K., and Woger, W. A Bayesian theory of measurement uncertainty. Meas. Sci. Technol., 3, 1992, pp.1-11 |
[52] | Wichmann, B.A. and Hill, I.D. Algorithm AS183. An efficient and portable pseudo-random number generator. Appl. Statist., 31, 1982, pp.188-190 |
[53] | Wichmann, B.A. and Hill, I.D. Correction. Algorithm AS183. An efficient and portable pseudo-random number generator. Appl. Statist., 33, 1984, p.123 |
[54] | Wichmann, B.A. and Hill, I.D. Generating good pseudo-random numbers. Computational Statistics and Data Analysis, 51, 2006, pp.1614-1622 |
[55] | Willink, R. Coverage intervals and statistical coverage intervals. Metrologia, 41, 2004, L5-L6 |
[56] | Woger, W. Probability assignment to systematic deviations by the Principle of Maximum Entropy. IEEE Trans. Instr. Measurement IM-36, 1987, pp.655-658 |
Электронный текст документа
и сверен по:
, 2012